Al cincilea postulat lui Euclid: formularea

Se crede că au existat în urmă cu 10 000 de ani, prima civilizatie umana. Comparativ cu vârsta planetei noastre, care, potrivit oamenilor de știință, are o vechime de aproximativ 4,540,000 ani, aceasta este doar un scurt moment. Pentru acest „moment“ omenirea a făcut un salt uriaș de la uneltele de piatră primitive la nave spațiale interplanetare. El nu ar fi posibil, în cazul în care din când în când pe planetă ar fi fost născut un geniu, știință se mișcă înainte. Printre ei, desigur, se referă Euclid. Lucrările sale au devenit fundamentul și un impuls puternic pentru dezvoltarea matematicii moderne.

Acest articol este despre al cincilea postulat al lui Euclid și istoria sa.

Cum a făcut geometria

Deoarece parcelele de teren au făcut obiectul chirie, dimensiunea și zona de vânzare și livrarea lor trebuie să fie măsurate, inclusiv prin calcule. Mai mult, aceste calcule devin necesare în construcția de structuri la scară largă, precum și măsurarea volumului de elemente diferite. Toate acestea au devenit premise de acum 3-4 mii de ani în Egipt și Babilon arta topografie. Acesta a fost empiric și este o colecție de câteva sute de exemple de rezolvare a problemelor specifice, fără nici o dovadă.

Ca o știință sistematică a geometriei dezvoltat în Grecia antică. Încă din secolul al treilea î.Hr. a existat o aprovizionare mare de fapte și metode de dovezi. Cu toate acestea, sa ridicat problema suficient de extinsă pentru a rezuma materialul geometric colectat. Ea a încercat să rezolve Hipocrate Fedii și alți filosofi greci antici. Cu toate acestea, a verificat în mod logic sistem științific nu a fost doar aproximativ 300 ani înainte de Hristos. e. cu publicarea „Principia“.

Cine a fost Euclid

Grecia antică a dat lumii mulți dintre cei mai mari filosofi și oameni de știință. Una dintre acestea este Euclid, care a devenit fondatorul școlii alexandrine de matematică. Despre omul de știință, practic, nu se cunoaște nimic. Unele surse indică faptul că tânărul viitorul tată al geometriei moderne studiate în faimoasa scoala de Platon din Atena, și apoi a revenit la Alexandria, unde a continuat să studieze matematica și optice, precum și muzică compuneți. În orașul său natal el a fondat o școală, în cazul în care, împreună cu elevii și a creat celebra sa lucrare, care, pentru mai mult de două mii de ani este baza pentru orice manual pe plan geometrie și solide geometrie.

„Elemente“ Euclid

Principalul și mai prima lucrare sistematică asupra geometriei este format din 13 de volume. Primele patru și a șasea cărți face cu geometrie plan, și 11, al 12-lea și al 13-lea - geometria solidă. În ceea ce privește celelalte volume, acestea sunt dedicate aritmetică, care este din punct de vedere al geometrice postulate.

Rolul principal al lucrării Euclid în dezvoltarea ulterioară a științelor matematice nu poate fi supraestimată. Listele Extant papyrus mai multe din original, precum și manuscrise bizantine.

În Evul Mediu, „elemente“ ale lui Euclid au fost studiate în primul rând de către arabi, care-i una dintre cele mai mari opere ale gândirii umane și om de știință din Damasc ia în considerare. Mult mai târziu aceste lucrări interesați europeni. Odată cu apariția științei de imprimare, inclusiv geometria euclidiană nu mai este cunoscută doar de cei aleși. După prima ediție în 1533. „elemente“ sunt disponibile tuturor celor care doresc să înțeleagă lumea, și există mai multe și mai mult în fiecare an. Cererea a creat de aprovizionare, astfel încât se crede că acest lucru este al doilea cel mai citit printre monumentele din antichitate după Biblie.

unele caracteristici

„Elemente“ descrie proprietățile metrice ale spațiului tridimensional, gol, nelimitate și izotrop, care este de obicei numit euclidian. Este considerat a fi o arenă în cazul în care există fenomene ale fizicii clasice ale programului Galileo și Newton.

obiect geometric elementar, conform cu Euclid, este punctul. Al doilea concept important - infinitatea spațiului, care se caracterizează prin primele trei postulate. Al patrulea se referă la egalitatea de unghiuri drepte. În ceea ce privește al cincilea postulat lui Euclid, atunci acesta determină proprietățile și geometria spațiului euclidian.

Potrivit oamenilor de știință, clasic geometrie tată a creat o perfectă manual, studiul care exclud orice înțelegere greșită a materialului din cauza modului său de prezentare. În special, fiecare volum al „elemente“ începe cu definirea conceptelor întâlnite pentru prima dată. În special, de la primele pagini din prima carte cititorul află că un punct, linie, dreaptă și așa mai departe. In total a unei definiții de 23 necesare pentru înțelegerea principalelor dispoziții ale materialului prezentat în această lucrare fundamentală.

4 prima axiomă și postulăm Euclid

După un autor al „elemente“ oferă rezultate care sunt acceptate fără dovezi. Acestea se împarte în axiome și postulate. Primul grup este format din 11 afirmații pe care omul cunoscute intuitiv. De exemplu, 8 axiomă că întregul este mai mare decât o parte, și în conformitate cu primele două cantități, în afară egal cu trei, egale între ele.

Mai mult, 5 cauze Euclid postulate. Primele patru după cum urmează:

• din orice punct la orice alt, puteți desena o linie dreaptă;
• din orice centru de fiecare rază este posibil să se descrie un cerc;
• linie limitată se poate extinde în mod continuu într-o linie dreaptă;
• toate unghiurile drepte sunt egale.

al cincilea postulat lui Euclid

Timp de peste două milenii, această afirmație a devenit în mod repetat obiectul atenției de matematicieni. Dar mai întâi, facem cunoștință cu conținutul celui de al cincilea postulat lui Euclid. Deci, în formularea modernă sună ca și în cazul în care pe un plan la intersecția a două drepte unilaterale a treia suma unghiurilor interioare mai mici de 180 °, atunci aceste linii continuând în același timp, mai devreme sau mai târziu întâlni pe acea parte pe care această cantitate (cantitate) mai mică de 180 °.

al cincilea postulat lui Euclid, care este formularea din diferite surse este diferită de la început a provocat sport și doresc să-l traducă în categoria de teoreme prin construirea unei dovezi de sunet. Apropo, este adesea înlocuită cu o altă expresie, de fapt, a inventat blestemată și, de asemenea, cunoscut sub numele de axioma Playfair. Se citește după cum urmează: pe un plan printr-un punct care nu aparține o anumită linie poate deține una și doar o singură linie dreaptă paralelă cu acest lucru.

limbă

După cum sa menționat deja, mulți oameni de știință au încercat diferite exprima ideea de a 5-a postulatului lui Euclid. Multe formulări sunt destul de evidente. De exemplu:

• Liniile convergente se intersectează;
• există cel puțin un dreptunghi, adică, 4-pătrat cu patru unghiuri drepte;
• fiecare cifră poate fi mărită în mod proporțional;
• există un triunghi având oricare, zonă arbitrar de mare.

deficiențe

geometria euclidiană a fost cele mai mari lucrări matematice din antichitate și până în secolul al 19-lea, a domnit necontestată în matematică. În ciuda acestui fapt, unele dintre neajunsurile sale au fost observate chiar și de către contemporani ai autorului, și savant grec antic, care au trăit ceva mai târziu. În special, acesta a adăugat o nouă axiomă Arhimede, numit după el. Se spune ca exista un n întreg, care este n · [AB]> [CD] pentru toate segmentele AB și CD.

În plus, oamenii de știință au încercat să reducă la minimum sistemul de axiome euclidiene și postulate. Pentru a face acest lucru, au luat unele dintre ele afară de restul.

Așa că a reușit să „scape“, a patra postulatul egalității de unghiuri drepte. Pentru el, a fost găsit o dovadă riguroasă, așa că sa mutat la categoria de teoreme.

Istoria 5 postulat în antichitate și Evul Mediu timpuriu

Formularea clasică a acestei declarații geometrie euclidiana pare a fi mult mai puțin evidente decât celelalte patru. Este acest fapt matematicieni bântuite.

Poticnirea bloc pentru a cincea euclidiene postulat a fost definirea paralelismul celor două linii a și b, care se precizează că suma celor două unilaterale unghiuri care sunt formate prin intersecția a și b o a treia linie dreaptă C, egală cu 180 de grade.

Prima încercare de a dovedi ca teorema a fost făcută de geometru grec antic Poseidonius. El a propus să ia în considerare o paralelă directă cu planul de mulțimea tuturor punctelor care sunt echidistant față de original. Cu toate acestea, chiar și acest lucru nu a permis Poseidonius găsi dovezi cincea postulat.

De asemenea, nu fără nici un rezultat și încercările altor matematicieni, inclusiv medievale, cum ar fi arabii Ibn Korra și Khayyam. Singurul lucru care a fost atins - apariția unor noi postulate, care pot fi dovedite pe baza mai multor ipoteze.

În secolele 18-19-lea

geometrie clasică a continuat să fie interesați în matematică și în secolul al 18-lea. În special, suficient de aproape de postulatul dovada ar putea veni matematician francez A. Legendre. El a scris un manual remarcabil „Elemente de geometrie“, care este de aproximativ 150 de ani a fost principalul predării matematicii în școlile Imperiului Rus. În ea omul de știință a dat trei opțiuni dovedesc axioma paralele euclidian, dar toate sa dovedit a fi incorecte.

La începutul secolului al 19-lea, ideea de a crea o geometrie non-euclidiana. Prima descriere a sistemului, independent de al cincilea postulat, a condus un inginer militar J. Bolyai. Dar el a fost speriat de descoperirea lui și nu a urmărit ideea, crezând greșit. Succesul nu a fost în măsură să realizeze și marele matematician german Gauss.

descoperire

Pentru mai mult de 2000 de ani de-al cincilea postulat lui Euclid, dovada care au încercat să găsească sute de oameni de știință, a rămas problema numărul unu în matematică. Descoperire a făcut matematician rus NI Lobachevsky. Pentru el din lume a reușit în primul rând pentru a descrie proprietățile spațiul real, dovedind că geometria euclidiană „funcționează“ numai în cazul particular al sistemului său.

N. I. Lobachevsky inițial a mers în jos pe aceeași cale ca și cea a colegilor săi. Încercarea de a dovedi a 5-a postulat, el nu a reușit. Apoi , omul de știință a refuzat reprezentarea euclidiană potrivit căreia unghiurile unui triunghi sumă egală cu 180 de grade. Apoi, el a încercat să demonstreze această afirmație prin contradicție și a primit o nouă formulare pentru a cincea postulatul. Acum, el a admis existența mai multor linii paralele cu aceasta, și care trece printr-un punct situat în afara acestei linii.

noua geometrie

Nu are nici un sens pentru a discuta, care a făcut mai mult pentru matematică. Rolul lui Euclid și Lobachevsky influență comparabilă asupra formării și dezvoltării lui Newton și fizica lui Einstein. În același timp, noua geometrie, absolută este posibil să se considere noțiunea de spațiu, de rupere departe de metoda clasică „poate înțelege numai ceea ce poate fi măsurat.“ Dar o astfel de abordare practicată în știință de mii de ani.

Din păcate, ideile geometriei Lobachevskii nu au fost acceptate și înțelese de contemporani. În special, elevii săi nu continuă activitatea de știință, precum și dezvoltarea geometriei non-euclidiene a fost amânată pentru câteva decenii.

Unele caracteristici ale teoriei Lobachevskii

Pentru a înțelege noua geometrie, este necesar să se ia în considerare infinitatea cosmică. Într-adevăr, este dificil să ne imaginăm că imensitatea universului este suma spațiilor liniare.

geometria Lobachevsky este folosit pentru a descrie spații curbate care sunt create de câmpurile gravitaționale ale galaxiilor. Ea a permis să se îndepărteze de la metoda de atenția tuturor cifrelor la „despre dreapta“ cilindru, cerc, piramidă, sau orice combinație a acestor forme. De, exemplu, în realitate, planeta noastră - nici o minge, și geoidul, adică, o cifră care se obține prin conturare conturul exterior al litosferei (coajă tare) a Pământului ...

În viața reală, există, de asemenea, analogi de spații curbate ale universului, care permite să se introducă posibilitatea existenței mai multor linii paralele ale care trec prin același punct. Mai precis, această suprafață curbată a celor trei tipuri care sunt alocate geometru italian Beltrami și numit E. pseudosphere.

Dezvoltarea în continuare a teoriei Lobachevsky

Remarcabil rus nu a fost singurul care nu se presupune absolutul geometriei euclidiene. În special, matematicianul Riemann în 1854 a prezentat ideea de posibilitatea existenței unor spații de, curbură pozitivă și negativă la zero. Acest lucru înseamnă că puteți crea un număr infinit de diferite geometrii non-clasice.

Pe poziția lui Riemann, care a studiat în principal spațiu cu o curbură pozitivă, al 5-lea postulatul lui Euclid sună destul de neașteptat. Conform ideilor sale, printr-un punct în afara o anumită linie nu poate exercita nici o linie paralelă cu acest lucru.

Destul de diferit este cazul cu spațiile de zero, curbura negativă și pozitivă a teoriei lui Klein. În special, în primul caz în care sunt descrise printr-o geometrie parabolic, un caz special, care este clasic, al doilea - ascultă idei Lobachevskian, iar al treilea - în concordanță cu cele descrise de Riemann.

În urma publicării Alberta Teoria relativității Eynshteyna, prezentarea acestor spații completează datele care să țină seama de existența a patru măsurători interdependente și în continuă schimbare - greutate, putere, viteză și de timp.

în practică

Dacă te duci la om de percepție a spațiului în interiorul Pământului pe orbita gigant cel mai mare posibil triunghi a deviere posibilă de suma unghiurilor interioare de 180 de grade clasice face doar patru milionimi de secundă. Această valoare este dincolo de capacitățile de homo sapiens, astfel încât „pământesc“ cererea este geometria euclidiană.

Rămâne să aștepte până când se creează condiții care permit obținerea de date experimentale pentru a confirma sau infirma teoria lui N. Lobachevsky și Riemann în întreaga galaxie.

Acum știi că declară al cincilea postulat lui Euclid și istoria sa, care este foarte instructiv, și ne permite să urmărim evoluția minții umane în ultimii 2300 de ani.