Riemann Ipoteze. Distribuția numerelor prime

În 1900, unul dintre cei mai mari oameni de știință ai secolului trecut, David Hilbert a făcut o listă formată din 23 de probleme nerezolvate ale matematicii. Munca asupra lor a avut un impact foarte mare asupra dezvoltării acestui domeniu al cunoașterii umane. După 100 de ani în matematică Institutul Clay a prezentat o listă de șapte probleme, cunoscute sub numele de obiectivele Mileniului. Pentru decizia fiecăruia dintre ei a fost oferit premiul de 1 milion de $.

Singura problemă, care a fost printre cele două liste de puzzle-uri, timp de secole nu a dat odihnă oamenilor de știință, a devenit ipoteza Riemann. Ea este încă în așteptare pentru decizia sa.

informații biografice Scurt

Georg Friedrich Bernhard Riemann sa născut în 1826 la Hanovra, într-o familie mare de un pastor sărac, și a trăit în vârstă de doar 39 de ani. El a reușit să publice 10 lucrări. Cu toate acestea, în timpul vieții lui Riemann a considerat un succesor al profesorului său Johann Gauss. La 25 de ani tânăr om de știință a susținut teza „Fundamentele teoriei funcțiilor unei variabile complexe.“ Mai târziu, el a formulat ipoteza lui, care a devenit faimos.

PRIMES

Matematica a venit atunci când omul a învățat să numere. Apoi a apărut prima idee a numerelor, care mai târziu a încercat să clasifice. S-a observat că unele dintre ele au proprietăți comune. În special, printre numerele naturale m. E. Aceste care au fost utilizate în calcul (numerotarea) sau desemnat numărul de articole a fost alocat un grup de astfel de care sunt împărțite numai câte unul și ei înșiși. Ei au fost numite simplu. O dovadă elegantă a teoremei set infinit de numere date de Euclid în „elemente“ lui. În acest moment, vom continua cautarea lor. În special, cea mai mare a unui număr de cunoscut ^{2 74207281} - 1.

Formula lui Euler

Împreună cu noțiunea de infinit de multe amorse Euclid definit, iar a doua teorema posibilă doar factorizarea. Conform acestuia orice număr întreg pozitiv este produsul de un singur set de numere prime. În 1737, marele matematician german Leonhard Euler și-a exprimat în primul teorema lui Euclid pe infinitatea cu formula prezentată mai jos.

Se numește funcția zeta, în cazul în care s - o constantă și p este toate valorile simple. Din aceasta au urmat în mod direct și aprobarea unicitatea expansiunii lui Euclid.

Funcția zeta Riemann

Formula lui Euler cu privire mai atentă este destul de remarcabil, așa cum dat de raportul dintre simple și numere întregi. La urma urmei, în partea ei stângă sunt multiplicate infinit de multe expresii care depind doar de simplă, iar în dreptul de suma este asociat cu toate numere întregi pozitive.

Riemann a continuat Euler. În scopul de a găsi cheia problemei distribuției numerelor, se propune să se definească formula atât variabila reală și complexă. Era ea, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de funcția zeta Riemann. În 1859 omul de știință a publicat un articol intitulat „Cu privire la numărul de numere prime, care nu depășesc o valoare predeterminată“, care a rezumat toate ideile lor.

Riemann a propus utilizarea unui număr de Euler, convergentă pentru toate s reale> 1. Dacă aceeași formulă este folosită pentru s complexe, atunci seria converge pentru orice valoare a variabilei cu partea reală este mai mare decât 1. Riemann folosit continuarea analitică a procedurii prin extinderea definiției zeta (e) pentru toate numerele complexe, dar „aruncarea“ unitate. Nu a fost posibil, pentru că dacă s = 1 Funcția zeta crește la infinit.

simț practic

Se pune întrebarea: ce este interesant și important funcția zeta, care este esențial în activitatea Riemann asupra ipotezei nule? După cum știți, în acest moment nu a fost găsit un model simplu care descrie distribuția numerelor prime printre naturale. Riemann capabil de a detecta că numărul de pi (x) de numere prime, care nu sunt superioare x, este exprimată prin distribuția nontrivial funcției zeta zero. Mai mult decât atât, ipoteza Riemann este o condiție necesară pentru a dovedi evaluări temporare ale unor algoritmi criptografici.

Ipoteza Riemann

Una dintre primele formulări ale acestei probleme matematice, nu sa dovedit în ziua de azi, este: trivial funcția 0 zeta - numere complexe cu partea reală egal cu ½. Cu alte cuvinte, acestea sunt aranjate pe o linie dreaptă Re s = ½.

Există, de asemenea, o ipoteză Riemann generalizată, care este aceeași declarație, dar pentru generalizarea zeta funcții, care sunt numite Dirichlet (vezi. De mai jos foto) L-funcții.

În formula χ (n) - un caracter numeric (k mod).

declarația lui Riemann este așa-numita ipoteza nulă, astfel cum a fost verificat pentru coerența cu datele eșantion existente.

Așa cum am argumentat Riemann

Notă matematician german a fost inițial formulată destul de întâmplare. Faptul este că, la acel moment omul de știință se va dovedi o teorema privind distribuția numerelor prime, iar în acest context, această ipoteză nu are efect mult. Cu toate acestea, rolul său în abordarea multe alte probleme este enormă. Acesta este motivul pentru care ipoteza Riemann de acum mulți oameni de știință recunosc importante probleme matematice nedovedite.

După cum sa spus, pentru a demonstra teorema privind distribuția completă ipoteza Riemann nu este necesară, și destul de a dovedi în mod logic că partea reală a oricărei non-triviale de zero a funcției zeta este între 0 și 1. Această proprietate implică faptul că suma tuturor 0-m funcţia zeta care apar în formula exactă de mai sus, - finit constant. Pentru valori mari ale lui x, acesta poate fi pierdut totul. Singurul membru al formulei, care va rămâne neschimbat chiar și la x foarte mari, x este el însuși. Restul condițiilor complexe în comparație cu ea dispar asimptotic. Astfel, suma ponderată tinde să x. Acest fapt poate fi considerat ca o dovadă a adevărului număr prim teoremei. Astfel, zerourile funcției Riemann zeta apare un rol special. Este de a dovedi că aceste valori nu pot contribui în mod semnificativ la formula de expansiune.

adepți Riemann

Moartea tragică de tuberculoză a împiedicat omul de știință aduce la sfârșitul logic al programului. Cu toate acestea, el a luat ștafeta de la W-F. de la Vallee Poussin și Zhak Adamar. În mod independent unul de celălalt au retras număr prim teorema. Hadamard și Poussin a reușit să demonstreze că toate nontrivial funcția 0 zeta sunt localizate în interiorul benzii critice.

Grație muncii acestor oameni de știință, o nouă ramură a matematicii - teoria analitică a numerelor. Mai târziu, alți cercetători au primit un pic mai primitiv dovada a teoremei lucra la Roma. În special, Pal Erdos și Atle Selberg au deschis chiar și confirmând lanțul său extrem de complex de logică, nu necesită utilizarea unor analize complexe. Cu toate acestea, în acest moment ideea de Riemann de mai multe teoreme importante au fost dovedite, inclusiv apropierea multor funcții ale teoriei numerelor. În legătură cu această nouă lucrare Erdős și Atle Selberg, practic, nimic nu este afectat.

Una dintre cele mai simple și mai frumoase dovezi ale problemei a fost găsit în 1980 de către Donald Newman. Acesta a fost bazat pe bine-cunoscut teorema lui Cauchy.

Amenințat dacă ipoteza lui Riemann este baza criptografiei moderne

Criptarea datelor a apărut cu apariția de caractere, sau mai degrabă, ele însele pot fi considerate ca fiind primul cod. În momentul de față, există o tendință nouă a criptografiei digitale, care este angajată în dezvoltarea de algoritmi de criptare.

Simplu și „semisimplu“ numărul m. E. Cei care sunt împărțite doar în alte două numere din aceeași clasă, sunt baza unui sistem de chei publice, cunoscut sub numele de RSA. Ea are o largă aplicare. În special, este utilizat în generarea unei semnături electronice. Dacă vorbim în termeni de „ceainicul“ disponibile, ipoteza Riemann afirmă existența sistemului în distribuția numerelor prime. Astfel, rezistența chei criptografice, de care depinde siguranța tranzacțiilor online în e-commerce a redus în mod semnificativ.

Alte probleme matematice nerezolvate

Articolul complet este în valoare de dedică câteva cuvinte la alte sarcini ale mileniului. Printre acestea se numără:

• Egalitatea claselor P și NP. Problema este formulată după cum urmează: în cazul în care un răspuns pozitiv la o întrebare dat este verificată în timp polinomial, atunci este adevărat că el însuși răspunsul la această întrebare poate fi găsit repede?
• Talmeș presupuneri. În termeni simpli, se poate afirma, după cum urmează: pentru anumite tipuri de varietati algebrice proiective (spații) cicluri de Hodge sunt combinații de obiecte care au o interpretare geometrică, adică ciclurile algebrice ...
• Conjectura lui Poincaré. Acesta este singurul dovedit la problemele mileniului momentul. Potrivit acestuia orice obiect tridimensional având proprietăți specifice ale sferei 3-dimensionale, sfera trebuie să aibă o precizie de deformare.
• Aprobarea cuantice Yang - teorie Mills. Trebuie să dovedim că teoria cuantică, prezentate de acești oameni de știință în spațiul R ^4, există un defect de 0-masă pentru orice calibrare simplă a unui grup compact G.
• Ipoteza Mesteacanul - Swinnerton-Dyer. Aceasta este o altă problemă, care este relevant pentru criptografie. Aceasta se referă la curbele eliptice.
• Problema existenței și finețea soluții ale Navier - Stokes.

Acum știi ipoteza Riemann. În termeni simpli, am formulat și unele dintre celelalte obiective ale mileniului. Faptul că acestea vor fi rezolvate sau se dovedește că nu au nici o soluție - este o chestiune de timp. Și acest lucru este puțin probabil să trebuiască să aștepte prea mult timp, deoarece matematica sunt din ce în ce utilizează puterea de calcul a calculatoarelor. Cu toate acestea, nu totul este supus tehnicii și pentru a rezolva problemele științifice necesită în primul rând intuiție și creativitate.