Aceasta este tangenta la cercul? Proprietățile tangenta la cerc. Comună tangenta la cele două cercuri

Secants, tangente - toate acestea de sute de ori ar putea fi auzit pe lecțiile de geometrie. Dar problema de școală în spatele, trece anul, și toate aceste cunoștințe uitate. Ce ar trebui să îmi amintesc?

esență

Termenul „tangenta la cerc“ semn, poate, totul. Dar este puțin probabil ca toate vor formula rapid o definiție. Între timp numit o linie tangentă situată în același plan ca și cercul care se intersectează la un singur punct. miriade lor pot exista, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum s-ar putea ghici, punctul de contact menționat la locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz, este una, în cazul în care există mai mult, atunci va fi transversală.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangenta a apărut în cele mai vechi timpuri. Construcția acestor linii la primul cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbolelor cu o riglă și o busolă a avut loc încă în primele etape ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este clar că, chiar și la acel moment oamenii au fost bine cunoscute proprietăți ale tangenta cercului.

În timpurile moderne, interesul pentru acest fenomen a izbucnit din nou - a început o nouă rundă de studiu al acestui concept în legătură cu deschiderea de noi curbe. Astfel, Galileo a introdus conceptul de cicloidă și Fermat și Descartes a construit o tangentă la ea. În ceea ce privește cercurile, se pare, este pentru secretele antice lăsate în acest domeniu.

proprietăţi

Raza trase la punctul de intersecție va fi perpendicular pe linia. acest , Dar nu și singura proprietate principală, care este tangentă la cercul. O altă caracteristică importantă include deja două drepte. Deci, printr-un singur punct, care se află în afara cercului, puteți desena doua tangente, iar lungimile lor sunt egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar este rareori a avut loc în cadrul cursului școlar standard, dar este extrem de util pentru rezolvarea unor probleme. Se merge după cum urmează. Dintr-un punct situat în afara cercului, trage o tangentă și secant la ea. segmente Formata AB, AC și AD. A - intersecția liniilor, B punctul de tangență, C și D - trecere. În acest caz, următoarea ecuație este valabilă: lungimea tangenta la cerc, pătrat, este egal cu produsul dintre segmentele AC și AD.

Din cele de mai sus, există un corolar important. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai unul. Dovada acestui fapt este destul de simplu: în teorie în jos pentru a-l perpendicular pe raza, aflăm că a format un triunghi nu poate exista. Și acest lucru înseamnă că tangenta - singura.

clădire

Printre alte sarcini în geometrie este o categorie specială, de regulă, nu este iubit de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcinile din această categorie au nevoie doar de o busolă și un conducător. Este sarcina de a construi. Acolo au construit pe o tangentă.

Deci, având în vedere un cerc și un punct care se află în afara granițelor sale. Și ai nevoie pentru a naviga prin ele tangentă. Cum o faci? În primul rând, trebuie să-și petreacă intervalul dintre centrul cercului O și punctul stabilit. Apoi, cu ajutorul unui compas ar trebui să-l împartă în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului și punctul inițial. Apoi, aveți nevoie pentru a construi două arce care se intersectează. Raza de la schimbarea nu ar trebui să fie busola, iar centrul de fiecare parte a cercului va fi punctul inițial, și O, respectiv. Locuri arcuiește intersecții trebuie să se conecteze această secțiune ajunge la jumatate. Întrebați la raza busolă egală cu distanța. Mai mult, cu centrul la intersecția pentru a construi un alt cerc. Acesta se va baza atât pe punctul inițial, și O. În acest caz, vor exista două intersecții cu această problemă într-un cerc. Că ei vor fi puncte de contact pentru punctul specificat inițial.

interesant

Se construiește o tangentă la cercul condus la nașterea calcul diferențial. Prima lucrare pe această temă a fost publicat de celebrul matematician german Leibniz. Aceasta a oferit posibilitatea de a găsi cele maxime, minimele și tangente, indiferent de cantitățile fracționare și iraționale. Ei bine, acum este folosit pentru multe alte calcule.

Mai mult decât atât, tangenta la cercul asociat cu sensul tangentă geometric. Este de aceasta, iar numele său vine. Traducere din tangens Latină - „tangenta“. Astfel, acest concept nu este doar o geometrie și calcul diferențial, dar cu trigonometrie.

două cercuri

Nu întotdeauna tangenta zatragivet doar o singură cifră. Dacă vă puteți petrece un mare număr de linii de la un cerc, atunci de ce nu invers? Posibil. Asta e doar problema în acest caz este grav complicată, deoarece tangenta la cele două cercuri nu pot trece prin orice punct, și poziția relativă a tuturor acestor cifre pot fi foarte diferite.

Tipuri și soiuri

Când este vorba de cele două cercuri și una sau mai multe linii, atunci, chiar dacă știi că este vorba despre, nu este imediat clar modul în care toate aceste piese sunt aranjate în raport unul cu altul. Pe această bază, există mai multe soiuri. Deci, cercul poate avea unul sau două puncte comune, sau deloc. În primul caz, acestea se vor suprapune, iar al doilea - pentru a atinge. Și aici sunt două soiuri. În cazul în care un cerc, așa cum au fost încorporate în al doilea, atingere se numește intern, dacă nu - atunci afară. Înțelegerea poziția relativă a pieselor nu se poate baza doar pe desen, dar având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două valori sunt egale, atunci cercurile ating. Dacă primul mai - se intersectează și în caz contrar - nu au puncte comune.

Așa este și cu linii drepte. Pentru oricare două cercuri care nu are puncte comune pot fi
construi patru tangente. Două dintre ele se vor suprapune între cifrele, acestea sunt numite interne. Un cuplu de altul - extern.

Dacă vorbim despre cercuri, care au un punct în comun, problema simplificată în serios. Faptul este că, în orice aranjament reciproc, în acest caz, tangenta ei vor avea doar unul. Și va trece prin punctul de intersecție. Așa că clădirea nu va provoca dificultăți.

În cazul în care cifrele sunt două puncte de intersecție, atunci ele pot fi construite linie tangentă la cercul ca cel, iar al doilea, dar numai în afara. Soluția la această problemă este similar cu ceea ce este discutat mai târziu.

Reuniunea provocărilor

Atât tangentă interne și externe la cele două cercuri din clădire nu sunt atât de simple, deși, iar această problemă este rezolvată. Faptul că modelul auxiliar este folosit pentru acest lucru, așa a dat seama o astfel de metodă singur Este destul de problematic. Deci, având în vedere două cercuri cu raze diferite și centrele O1 și O2. Pentru ei, necesitatea de a construi două perechi de tangente.

În primul rând, despre centrul cercului mai mare pentru a construi de susținere. În același timp, pe busola trebuie setată diferența dintre razele dintre cele două figuri originale. Din centrul cercului mai mic tangenta la auxiliar construit. După aceea a O1 și O2 sunt deținute perependikulyary acestea direct la intersecția cu cifrele inițiale. Astfel cum rezultă din proprietățile de bază ale tangentei, punctele necesare se găsesc pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin în prima parte.

Pentru a construi tangentelor interne trebuie să rezolve aproape o problemă similară. Din nou, avem nevoie de o figură auxiliară, dar de data aceasta raza sa este egală cu suma originalului. Pentru a construi o tangenta din centrul unuia dintre aceste cercuri. Continuarea Cursul deciziei poate fi înțeleasă din exemplul anterior.

Tangenta la cercul sau chiar două sau mai multe - nu este o astfel de sarcină dificilă. Desigur, matematicieni au încetat de mult pentru a rezolva probleme similare manual și încredere calculează programe speciale. Dar nu cred că este acum să nu fie neapărat în stare să o faci singur, deoarece pentru o formulare corectă a sarcinii pentru computer pentru a face mult și să înțeleagă. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a problemelor de control al cunoștințelor privind construcția va determina elevii tot mai multe dificultăți.

În ceea ce privește găsirea comune tangentele la mai multe cercuri, nu este întotdeauna posibil, chiar dacă se află în același plan. Dar, în unele cazuri, este posibil să se găsească o astfel de linie.

exemple de viață

Comună tangenta la cele două cercuri este adesea găsit în practică, deși nu este întotdeauna clar. Conveieri, sisteme modulare, de transmisie curele scripeți, tensiunea firului într-o mașină de cusut, dar chiar și doar un lanț de bicicletă - exemple de viață. Deci, nu cred că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizica, constructii si multe alte domenii sunt utilizate în practică.