Nedefinită integral. Calculul integralelor nedefinite

Una dintre secțiunile fundamentale ale analizei matematice este calculul integral. Acesta acoperă un domeniu foarte larg de obiecte, în cazul în care primul - este integrala de catre nedeterminată. Poziția sa actuală ca o cheie, care este încă în liceu relevă un număr tot mai mare de perspective și oportunități, care descrie matematici superioare.

apariție

La prima vedere, pare a fi extrem parte integrantă moderne, de actualitate, dar în practică se dovedește că el a revenit în 1800 î.Hr.. Acasă la considerat oficial Egipt ca nu au ajuns la noi dovezi anterioare ale existenței sale. Aceasta din cauza lipsei de informații, tot timpul poziționat ca un simplu fenomen. El confirmă încă o dată nivelul de dezvoltare științifică a popoarelor acelor vremuri. În cele din urmă, lucrările au fost găsite cele mai vechi matematicieni greci, care datează din secolul al 4 - lea î.Hr.. Ele descriu metoda folosită în cazul în care indefinită integral, esența care a fost de a găsi volumul sau suprafața unei forme curbiliniu (plane tridimensionale și bidimensionale, respectiv). Calculul sa bazat pe principiul diviziunii figurii original în componente infinitezimale, cu condiția ca volumul (zona) este deja cunoscută pentru ei. De-a lungul timpului, metoda a crescut, Arhimede a folosit pentru a găsi zona unei parabole. Calcule similare în același timp pentru a efectua exerciții în China antică, în cazul în care acestea au fost complet independent de colegii știință greacă.

dezvoltare

Următoarea descoperire în secolul XI î.Hr. a devenit opera savantului arab „vagon“ Abu Ali al-Basri, care a împins limitele deja cunoscute, au fost derivate din formula integrală pentru calcularea sumelor din sumele și gradele de la primul la al patrulea, care solicită acest lucru cunoscut la noi metoda de inducție.
Mințile de astăzi sunt admirate de vechii egipteni au creat monumente uimitoare, fără unelte speciale, cu excepția celor din propriile lor mâini, dar nu este o putere oamenii de știință nebun a nu mai puțin timp un miracol? Comparativ cu vremurile actuale ale vieții lor par aproape primitiv, dar decizia integralelor nedefinite dedus peste tot și folosite în practică pentru dezvoltarea în continuare.

Următorul pas a avut loc în secolul al XVI - lea, când matematicianul italian Cavalieri a adus metoda indivizibile, care a luat Per Ferma. Aceste doua personalitate a pus bazele pentru calculul integral moderne, care este cunoscut în acest moment. Ei au legat conceptele de diferențiere și integrare, care au fost considerate anterior ca unități de sine stătătoare. În general, matematica acel moment a fost particule fragmentate descoperiri există prin ele însele, cu utilizare limitată. Calea de a uni și de a găsi un numitor comun a fost singurul adevărat în acest moment, datorită lui, modernă analiza matematică au avut posibilitatea să crească și să se dezvolte.

Odată cu trecerea timpului totul se schimbă și simbolul integrală, de asemenea. În general, a fost desemnat oamenii de știință care, în felul său, de exemplu, Newton folosit o pictogramă pătrat, care a pus o funcție integrabilă, sau pur și simplu pune împreună. Această diferență a durat până în secolul al XVII-lea, atunci când un punct de reper pentru întreaga teorie a analizei matematice om de știință Gotfrid Leybnits a introdus un astfel de personaj familiar pentru noi. Alungita „S“ se bazează de fapt pe această literă a alfabetului roman, deoarece reprezintă suma primitivelor. Numele integralei obținut, datorită Jakob Bernoulli, după 15 ani.

Definiția formală

Integrala nedefinită depinde de definiția primitiv, așa că am luat în considerare în primul rând.

Antiderivative - este funcția inversă a derivatului, în practică se numește primitivă. Altfel: funcția primitivă a d - este o funcție D, care este derivat v <=> V „= v. Căutarea primitivă este de a calcula integrala nedefinită, iar procesul în sine se numește integrare.

exemplu:

Funcția s (y) = y ^3, și S primitive (y) = (y ^4/4).

Mulțimea tuturor primitivelor functiei - aceasta este o parte integrantă nedeterminată, ea denumite după cum urmează: ∫v (x) dx.

În virtutea faptului că V (x) - sunt doar câteva funcții originale primitive, expresie deține: ∫v (x) dx = V (x) + C, unde C - constantă. Sub constanta arbitrare se referă la orice constantă, deoarece derivatul său este zero.

proprietăţi

Proprietățile deținute de indefinit integrală, bazată în mod esențial pe definirea și proprietățile derivaților.
Luați în considerare punctele cheie:

• derivat integral al primitiv este primitiv în sine, plus o constantă arbitrară C <=> ∫V „(x) dx = V (x) + C;
• derivat integralei unei funcții este funcția originală <=> (∫v (x) dx) „= v (x);
• constantă este scoasă de sub semnul integral <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, unde k - este arbitrară;
• integral, care este luat din suma identic egal cu suma integralelor <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ultimele două proprietăți poate concluziona că integrala nedefinită este liniară. Datorită acestui fapt, avem: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Pentru a vedea exemple de fixare soluții integralelor nedefinite.

Trebuie să găsiți ∫ integrală (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

De exemplu, putem concluziona că nu știi cum să rezolve integralele nedefinite? Doar găsi toate primitivele! Dar căutarea principiilor discutate mai jos.

Metode și exemple

Pentru a rezolva integral, puteți recurge la următoarele metode:

• gata să profite de masă;
• integrarea prin părți;
• integrate prin înlocuirea variabilei;
• rezumând sub semnul diferenței.

tabele

Modul cel mai simplu și plăcut. În acest moment, analiza matematica se poate lăuda cu tabele destul de extinse, care a descris în detaliu formula de bază integralelor nedefinite. Cu alte cuvinte, există template-uri derivate de până la tine și poți lua doar profita de ele. Aici este lista principalelor poziții de masă, care pot fi afișate practic fiecare instanță, are o soluție:

• ∫0dy = C, unde C - constantă;
• ∫dy = y + C, unde C - constantă;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, unde C - o constantă, și n - număr diferit de unitate;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, unde C - constantă;
• ^{∫e y dy = e y + C} , unde C - constantă;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, unde C - constantă;
• ∫cosydy = siny + C, unde C - constantă;
• ∫sinydy = -cosy + C, unde C - constantă;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, unde C - constantă;
• ∫dy / păcatul ² y = -ctgy + C, unde C - constantă;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, unde C - constantă;
• ∫chydy = timid + C, unde C - constantă;
• ∫shydy = chy + C, unde C - constantă.

Dacă este necesar, face câțiva pași integrandul conduc la o vedere tabelară și se bucură de victoria. EXEMPLU: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Conform deciziei, este clar că, de exemplu, un tabel integrandul îi lipsește multiplicator 5. Am adăuga în paralel cu această înmulțind cu 1/5 la expresia generală nu a schimbat.

Integrarea de piese

Luați în considerare două funcții - z (y) și x (y). Acestea trebuie să fie în mod continuu pe domeniul derivabila său. Într-una proprietăți de diferențiere avem: d (xz) = xdz + ZDX. Integrarea ambelor părți, obținem: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Rescrierea ecuației rezultată, obținem formula, care descrie metoda de integrare prin părți: ∫zdx = zx - ∫xdz.

De ce este necesar? Faptul că unele dintre exemple este posibil să se simplifice, să zicem, pentru a reduce ∫xdz ∫zdx, în cazul în care acesta din urmă este aproape de forma de tabel. De asemenea, această formulă poate fi folosită mai mult decât o dată, pentru rezultate optime.

Cum de a rezolva integralele nedefinite astfel:

• este necesar să se calculeze ∫ (s + 1) ^2s e ds

∫ (x + ^{1) 2s e ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• trebuie să calculeze ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + C.

Înlocuirea variabilei

Acest principiu de rezolvare a integralelor nedefinite nu sunt mai puțin în cerere decât cele două anterioare, deși complicate. Metoda este următoarea: Fie V (x) - integralei unor funcții v (x). În cazul în care, în sine, parte integrantă din exemplul slozhnosochinenny vine, este probabil pentru a obține confuz și du-te în jos soluțiile căi greșite. Pentru a evita această modificare practică de variabila x la z, în care expresia generală simplificată vizual menținând z în funcție de x.

Din punct de vedere matematic, acest lucru este după cum urmează: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y „(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), unde x = y ( z) - substituție. Și, desigur, funcție inversă z = y ^-1 (x) descrie pe deplin relația și relația dintre variabile. Notă importantă - dx diferențială în mod necesar înlocuit cu un nou dz diferential, deoarece schimbarea de variabilă în integralei nedefinită implică înlocuirea acestuia peste tot, nu doar în integrandul.

exemplu:

• trebuie să găsească ∫ (s + 1) / (s + ² 2s - 5) ds

Aplicați z = substituție (s + 1) / (s + ² 2s-5). Apoi dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Ca urmare, următoarea expresie, care este foarte ușor de calculat:

∫ (s + 1) / (s + ² 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• tu trebuie sa gaseasca integrala ∫2 ^s e ^s dx

Pentru a rezolva rescrierea în următoarea formă:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Vom nota cu un = 2e (înlocuirea argumentul acest pas nu este, este încă e), vom da noastre aparent complicată parte integrantă sub formă de tabel de bază:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (In2 + 1) + C.

Rezumând un semn diferențial

În general, această metodă de integralelor nedefinite - fratele geamăn al principiului schimbării de variabile, dar există diferențe în procesul de înregistrare. Să ne gândim mai detaliat.

Dacă ∫v (x) dx = V (x) + C și y = z (x), apoi ∫v (y) dy = V (y) + C.

În același timp, nu trebuie să uităm transformările integrale triviale, printre care:

• dx = d (x + a) și în care - fiecare constantă;
• dx = (1 / a) d (ax + b), în cazul în care o - constantă din nou, dar nu este zero;
• XDX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Dacă luăm în considerare cazul general în care se calculează indefinit integrală, exemple pot fi subsumate cu formula generală w „(x) dx = dw (x).

exemple:

• trebuie să găsească ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

ajutor online

În unele cazuri, vina care poate deveni sau lene, sau o nevoie urgentă, puteți utiliza solicitările on-line, sau, mai degrabă, de a utiliza un calculator integralele nedefinite. În ciuda complexității aparente și caracterul controversat al integralele, decizia este supusă algoritmul lor specific, care se bazează pe principiul „dacă nu ... atunci ...“.

Desigur, un exemple deosebit de complicate ale unui astfel de calculator nu va stăpâni, deoarece există cazuri în care o decizie trebuie să găsească un mod artificial „forțat“, prin introducerea unor elemente în acest proces, deoarece rezultatele sunt evidente moduri de a ajunge. In ciuda naturii controversate a acestei declarații, este adevărat, așa cum matematica, în principiu, o știință abstractă, iar obiectivul său principal consideră necesitatea de a împuternici frontierelor. Într-adevăr, pentru o buna run-in teoriile este foarte dificil să se deplaseze în sus și să evolueze, astfel încât să nu presupunem că exemplele de rezolvare a integralelor nedefinite, care ne-a dat - aceasta este înălțimea de oportunități. Dar să revenim la partea tehnică a lucrurilor. cel puțin pentru a verifica calcule, puteți utiliza serviciul în care a fost scris pentru noi. În cazul în care este necesar pentru calcularea automată a expresiilor complexe, atunci ei nu trebuie să recurgă la un software mai grave. Ar trebui să acorde o atenție în primul rând asupra mediului MatLab.

cerere

Decizia integralelor nedefinite la prima vedere pare complet detașat de realitate, deoarece este dificil de a vedea utilizarea evidentă a planului. Într-adevăr, să le utilizeze în mod direct oriunde nu se poate, dar ele sunt un element intermediar necesar în procesul de retragere a soluțiilor utilizate în practică. Astfel, integrarea diferențierii spate, participând astfel activ în procesul de rezolvare a ecuațiilor.
La rândul lor, aceste ecuații au un impact direct asupra deciziei de probleme mecanice, calculul traiectoriei și conductivitate termică - pe scurt, tot ceea ce constituie în prezent și modelarea viitorului. exemple nedefinite integrală, din care am considerat mai sus, triviale doar la prima vedere, ca o bază pentru a efectua mai multe și mai noi descoperiri.