Poliedre. Tipuri de polyhedra și proprietățile acestora

Polyhedra nu numai că ocupă un loc proeminent în geometrie, ci și în viața de zi cu zi a fiecărei persoane. Să nu mai vorbim de obiectele de zi cu zi folosite în mod obișnuit sub forma unor poligoane diferite, începând cu cutia de boxe și terminând cu elemente arhitecturale, în natură există și cristale sub formă de cub (sare), prisme (cristal), piramide (scheelite), octaedra . d.

Conceptul de polyhedron, tipurile de polyhedra în geometrie

Geometria ca știință conține o secțiune de stereometrie care studiază caracteristicile și proprietățile figurilor tridimensionale . Corpurile geometrice , ale căror laturi în spațiul tridimensional sunt formate de planete (fețe) delimitate, sunt numite "polyhedra". Tipurile de polyhedra numără mai mult de o duzină de reprezentanți, care diferă în numărul și forma fețelor.

Cu toate acestea, toate polyhedra au proprietăți comune:

1. Toate acestea au 3 componente integrale: fața (suprafața poligonului), vârful (colțurile formate la îmbinarea fețelor), marginea (partea figurinei sau segmentul format la joncțiunea celor două fețe).
2. Fiecare margine a unui poligon se alătură două și numai două fețe care sunt adiacente una de cealaltă.
3. Convexitatea înseamnă că corpul este complet localizat numai pe o parte a planului pe care se află una dintre fețe. Regula este aplicabilă tuturor fețelor polyhedronului. Astfel de figuri geometrice în stereometrie se numesc polyhedra convexe. Excepția este polyhedra stele, care sunt derivate ale corpurilor geometrice poliedre regulate.

Polyhedra poate fi împărțită în:

1. Tipuri de polyhedra convexe constând din următoarele clase: ordinare sau clasice (prisma, piramida, paralelipiped), regulate (numite și corpuri platonice), semi-obișnuite (al doilea nume - organisme arhimede).
2. Non-convex poliedra (stelat).

Prism și proprietățile sale

Stereometria ca o secțiune a geometriei studiază proprietățile figurilor tridimensionale, tipurile de polyhedra (o prisma în număr). Prisma este un corp geometric care are în mod necesar două fețe complet identice (numite și baze) situate în planuri paralele și numărul n al fețelor laterale sub formă de paralelograme. La rândul său, prisma are, de asemenea, mai multe soiuri, inclusiv astfel de tipuri de polyhedra ca:

1. Paralelipiped - se formează dacă există paralelogram în bază - un poligon cu 2 perechi de unghiuri opuse egale și două perechi de laturi opuse congruente.
2. O prismă dreaptă are muchii perpendiculare la bază.
3. O prismă înclinată este caracterizată de prezența unor unghiuri indirecte (altele decât 90) între fețe și bază.
4. Prisma corectă este caracterizată de baze sub forma unui poligon obișnuit cu fețe laterale egale.

Proprietățile de bază ale prismei:

• Baze congruente.
• Toate marginile prismei sunt egale și paralele una cu cealaltă.
• Toate fețele laterale au forma unui paralelogram.

Piramida

O piramidă este un corp geometric care constă dintr-o bază și al n-lea număr de fețe triunghiulare care unește un punct - vârful. Trebuie remarcat faptul că dacă fețele laterale ale piramidei sunt reprezentate prin triunghiuri, atunci în bază pot exista atât un poligon triunghiular, un quadrangle și un pentagon și așa mai departe ad infinitum. Numele piramidei va corespunde poligonului din partea de jos. De exemplu, dacă există un triunghi în partea de jos a piramidei, este o piramidă triunghiulară, un patrulater este un quadrangle și așa mai departe.

Piramidele sunt poliedra conului. Tipurile de polyhedra din acest grup, pe lângă cele de mai sus, includ, de asemenea, următorii reprezentanți:

1. O piramidă obișnuită are un poligon regulat la bază și înălțimea ei este proiectată în centrul unui cerc înscris în bază sau descris în jurul acestuia.
2. O piramidă dreptunghiulară este formată atunci când una dintre marginile laterale se intersectează cu baza la un unghi drept. În acest caz, această margine este, de asemenea, numită pe bună dreptate înălțimea piramidei.

Proprietățile piramidei:

• Dacă toate margini laterale ale piramidei sunt congruente (de aceeași înălțime), atunci toate se intersectează cu baza la un unghi, iar în jurul bazei puteți desena un cerc cu un centru care coincide cu proiecția vârfului piramidei.
• Dacă există un poligon regulat în partea de jos a piramidei, atunci toate marginile laterale sunt congruente, iar fețele sunt triunghiuri isoscel.

Poliedron corect: tipuri și proprietăți ale polyhedra

În stereometrie, un loc special este ocupat de corpuri geometrice cu laturi absolut egale, la vârfurile cărora se conectează același număr de muchii. Aceste organisme sunt numite corpuri platonice sau poliedre regulate. Tipurile de policedere cu aceste proprietăți au doar cinci cifre:

1. Tetraedru.
2. Hexaedre.
3. Octaedru.
4. Dodecaedrul.
5. Icosahedron.

Prin numele lor, polyhedra corectă se datorează filosofului grec Plato, care a descris aceste corpuri geometrice în lucrările sale și le-a conectat cu elementele naturale: pământ, apă, foc, aer. A cincea cifră a primit o asemănare cu structura universului. În opinia sa, atomii de elemente naturale se aseamănă în formă cu tipurile de polyhedra obișnuite. Datorită proprietății sale cele mai fascinante - simetrie, aceste corpuri geometrice au fost de mare interes nu numai pentru matematicieni și filozofi antice, ci și pentru arhitecți, artiști și sculptori din toate timpurile. Prezența a numai 5 tipuri de polyhedra cu simetrie absolută a fost considerată o descoperire fundamentală, ei au primit chiar și o legătură cu începutul divin.

Hexaedron și proprietățile sale

În forma unui hexagon, succesorii lui Platon au presupus o asemănare cu structura atomilor pământului. Desigur, în prezent, această ipoteză este complet respinsă, ceea ce nu împiedică cifrele să atragă mintea unor figuri bine cunoscute în estetica lor.

În geometrie, un hexaedru, de asemenea un cub, este considerat un caz particular al unui paralelipiped, care la rândul său este un fel de prisma. În consecință, proprietățile cubului sunt legate de proprietățile prismei, cu singura diferență că toate fețele și unghiurile cubului sunt egale una cu cealaltă. Aceasta implică următoarele proprietăți:

1. Toate marginile cubului sunt congruente și se află în planuri paralele unul față de celălalt.
2. Toate fețele sunt pătrate congruente (există 6 în cub), dintre care oricare poate fi luată ca bază.
3. Toate unghiurile interfaciale sunt egale cu 90.
4. Din fiecare vârf vine un număr egal de margini, și anume 3.
5. Cubul are 9 axe de simetrie, care se intersectează în punctul de intersecție al diagonalelor hexaedrului, numit centrul simetriei.

tetraedru

Tetrahidronul este un tetraedru cu fețe egale sub formă de triunghiuri, fiecare dintre ale cărui vârfuri este un punct de conectare a trei fețe.

Proprietățile unui tetraedru obișnuit:

1. Toate fețele unui tetraedru sunt triunghiuri echilaterale, din care rezultă că toate fețele unui tetraedru sunt congruente.
2. Deoarece baza este reprezentată de o figură geometrică regulată, adică are laturi egale, atunci fețele tetraedrului converg la același unghi, adică toate unghiurile sunt egale.
3. Suma unghiurilor plane la fiecare dintre vârfuri este de 180, deoarece toate unghiurile sunt egale, atunci orice unghi al tetraedrului obișnuit este 60.
4. Fiecare dintre vârfuri este proiectat la punctul de intersecție al înălțimilor feței opuse (orthocenter).

Octaedron și proprietățile sale

Descriind tipurile de polyhedra obișnuite, nu se poate observa un obiect cum ar fi un octaedru care poate fi reprezentat vizual sub forma a două piramide regulate patrulaterale lipite împreună de baze.

Proprietățile unui octaedru:

1. Numai numele corpului geometric ne spune numărul de fețe. Octogonul constă din 8 triunghiuri echilaterale congruente, în fiecare vârf ale cărora există un număr egal de fețe, și anume 4.
2. Deoarece toate fețele unui octaedru sunt egale, unghiurile interangulare, fiecare egale cu 60, sunt egale, iar suma unghiurilor planare ale oricăruia dintre vârfuri este, prin urmare, 240.

Dodecaedrul

Dacă ne imaginăm că toate fețele corpului geometric sunt un pentagon obișnuit, obținem un dodecaedru - o cifră de 12 poligoane.

Proprietățile dodecaedrului:

1. Fiecare vârf intersectează trei fețe.
2. Toate fețele sunt egale și au aceeași lungime de muchii, precum și o zonă egală.
3. Dodecaedrul are 15 axe și planuri de simetrie, iar oricare dintre ele trece prin vârful feței și mijlocul muchiei opuse.

icosahedron

Nu mai puțin interesant decât un dodecaedru, icosaedrul este un corp geometric voluminos, cu 20 de fețe egale. Printre proprietățile unui dentagon obișnuit se pot observa următoarele:

1. Toate fețele unui icosaedru sunt triunghiuri izoscel.
2. Fiecare vârf al poliedrului converge la cinci fețe, iar suma unghiurilor vârfurilor adiacente este 300.
3. Icoședronul, ca și dodecaedrul, are 15 axe și planuri de simetrie care trec prin centrele unor fețe opuse.

Poligoane semi-regulate

În plus față de solidele platonice, grupul de polyhedra convex include și corpurile arhimede, care sunt trunchiate în mod regulat polyhedra. Tipurile de polyhedra din acest grup au următoarele proprietăți:

1. Corpurile geometrice au fețe de perechi egale de mai multe tipuri, de exemplu, un tetraedru trunchiat are 8 fețe, precum și un tetraedru obișnuit, dar în cazul corpului arhimedei 4 fețele vor fi triunghiulare și 4 hexagonale.
2. Toate unghiurile unui vertex sunt congruente.

Star polyhedra

Reprezentanții unor tipuri inexistente de corpuri geometrice sunt poliedra stea ale căror fețe se intersectează reciproc. Ele pot fi formate prin fuziunea a două corpuri tridimensionale obișnuite sau ca urmare a continuării fețelor lor.

Astfel, sunt cunoscute astfel de poliedra stele: octaedronul în formă de stea, dodecaedronul, icosaedronul, cuboctaedrul, icosododecaedronul.