Zona de bază a prismei: de la triunghiulare la poligonală

Diferitele prisme sunt diferite unul față de celălalt. În același timp, ei au mult în comun. Pentru a găsi zona de bază a prismei, va fi necesar să înțelegem ce fel are.

Teoria generală

Prisma este orice polidron al cărui latură laterală are forma unui paralelogram. În acest caz, poate fi orice polidron - de la un triunghi la un n-gon. Și bazele prismei sunt întotdeauna egale una cu cealaltă. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale - acestea pot varia semnificativ în funcție de dimensiune.

La rezolvarea problemelor nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate fi necesară cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi deja unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori în sarcini există o înălțime. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui polyhedron este un segment care unește două vârfuri în perechi care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria bazei prismei directe sau oblice nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași figuri în fețele superioare și inferioare, atunci zonele lor vor fi egale.

Prisma triunghiulară

Are în bază o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, se întâmplă să fie diferită. Dacă triunghiul este dreptunghiular, atunci este suficient să reamintim că suprafața sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notatia matematica este dupa cum urmeaza: S = ½ av.

Pentru a găsi suprafața bazei prismei triunghiulare în formă generală, vor fi utile următoarele formule: Heronul și cel în care jumătatea laturii este luată la înălțimea atinsă de ea.

Prima formula trebuie să fie scrisă după cum urmează: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). În această înregistrare există o jumătate de perimetru (p), adică suma a trei laturi, împărțită în două.

Al doilea: S = ½ n _a * a.

Dacă doriți să cunoașteți zona bazei unei prisme triunghiulare, care este corectă, atunci triunghiul este echilateral. Pentru el, există o formulă: S = ¼ a ² * √3.

Quadrangular prisma

Baza sa este oricare dintre quadranglele cunoscute. Poate fi un dreptunghi sau un pătrat, un paralelipiped sau un romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, avem nevoie de formula noastră proprie.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa este definită ca: S = av, unde a și - laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă quadrangulară, aria bazei prismei corecte este calculată de formula pentru pătrat. Pentru că el este cel care se află în partea de jos. S = ^a2 .

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n _a . Se întâmplă ca partea paralelipipedului să fie dată și una dintre colțuri. Apoi, pentru a calcula altitudinea, trebuie să folosim formula suplimentară: _a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii "c", iar înălțimea este opusă acestui unghi.

Dacă un romb se află la baza prismei, atunci pentru a determina zona sa, aceeași formulă va fi necesară pentru paralelogramă (deoarece este cazul său particular). Dar putem folosi și acest lucru: S = 1 d ₁ d ₂ . Aici d ₁ și d ₂ sunt cele două diagonale ale rombului.

Corectați prisma pentagonală

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri ale căror zone sunt mai ușor de învățat. Deși se întâmplă ca cifrele să poată fi cu un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon obișnuit, ea poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, suprafața bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus) înmulțită cu cinci.

Precizie hexagonală corectă

Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibilă ruperea hexagonului bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula suprafeței de bază a unei asemenea prisme este similară celei precedente. Numai în ea ar trebui să se înmulțească suprafața unui triunghi echilateral cu șase.

Formula seamănă astfel: S = 3/2 și ² * √3.

sarcini

№ 1. Este dată prisma dreaptă quadrangulară dreaptă. Diagonala este de 22 cm, înălțimea polyhedronului este de 14 cm. Calculați suprafața bazei prismei și a întregii suprafețe.

Soluția. Baza prismei este un pătrat, dar partea sa nu este cunoscută. Valoarea sa poate fi găsită pe diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și de înălțimea ei (n). X2 = d2 - n2. Pe de altă parte, acest segment "x" este hypotenuse în triunghi, picioarele cărora sunt egale cu partea pătratului. Asta este, x ² = a ² + a ² . Astfel, rezultă că a ² = (d ² - n ² ) / 2.

Pentru a înlocui d cu 22 și "н" pentru al înlocui cu 14, se pare că partea din pătrat este de 12 cm. Acum, aflați doar suprafața bazei: 12 * 12 = 144 cm2.

Pentru a cunoaște suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori valoarea zonei de bază și a laturii cvadruple. Acestea din urmă pot fi găsite cu ușurință din formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și partea laterală a bazei. Aceasta este, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm2. Suprafața totală a prismei este de 960 cm2.

Răspuns. Zona de bază a prismei este de 144 cm2. Întreaga suprafață este de 960 cm2.

Nu. 2. Este dată prisma triunghiulară corectă. La bază se află un triunghi cu o latură de 6 cm, în același timp, diagonala feței laterale este de 10 cm. Calculați suprafețele: baza și suprafața laterală.

Soluția. Deoarece prisma este corectă, baza ei este un triunghi echilateral. Prin urmare, suprafața sa este egală cu 6 în pătrat multiplicat cu ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și reprezintă dreptunghiuri cu laturi de 6 și 10 cm. Pentru a calcula zonele lor, este suficient să multiplicați aceste numere. Apoi multiplicați-le cu trei, deoarece există atât de multe muchii laterale ale prismei. Apoi, suprafața laterală este înfășurată la 180 cm2.

Răspuns. Zona: baza este de 9,3 cm2, suprafața laterală a prismei este de 180 cm2.