Derivata sinusul unghiului este egal cu cosinusul același unghi

Dana simplu funcția trigonometry y = Sin (x), este diferențiabilă în fiecare punct al întregului domeniu. Noi trebuie să dovedească faptul că derivatul sinusului oricărui argument este egal cu cosinusul același unghi, adică „= Cos (x).

Dovada se bazează pe definirea unei funcții derivate

Definim x (arbitrar) , în unele mic cartier dintr - un anumit punct x _{0 bH.} Vom arăta valoarea funcției în ea, iar la punctul x pentru a găsi incrementarea unei funcții date. Dacă bH - argument incrementat, noul argument - această x ₀ + Ax = x, valoarea acestei funcții pentru o anumită valoare a argumentului (x) este egal Sin (x ₀ + Ax), valoarea funcției la un anumit punct (x ₀₎ este de asemenea cunoscută .

Acum avem = Sin DU (x ₀ + bH) -Sin (x ₀₎ - a obținut funcția de incrementare.

Conform formulei de sine suma a două unghiuri inegale vom converti diferența AU.

Sin = AU (x ₀₎ · Cos (bH) + Cos (x ₀₎ · Sin (Ax) minus Sin (x ₀₎ = (Cos (Ax) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Păcatul (bH).

termeni de permutare efectuate grupate prima la a treia Sin (x _0), scos factorul comun - sine - paranteze. Am primit în expresia Cos diferența (bH) -1. Acesta a lăsat să se schimbe semnul în fața paranteze și paranteze. Știind ce este 1-cos (bH), vom face schimbarea și de a obține o expresie simplificată AU, care este apoi împărțit la bH.
AU / bH va avea forma: Cos (x ₀₎ · Sin (bH) / bH 2 · Sin ² (0,5 x bH) · Sin (x ₀₎ / bH. Acesta este raportul dintre incrementarea funcției la admiterea la incrementarea argumentului.

Rămâne de a găsi limita raporturile obținute de noi în timpul lim bH, tinzând la zero.

Este cunoscut faptul că limita Sin (bH) / este egal cu Ax 1, cu condiția. Iar expresia 2 · Sin ² (0,5 x bH) / bH în care rezultă suma transformărilor speciale pentru produs care conține ca prim multiplicator limita remarcabilă: numărătorul fracției și znemenatel divide cu 2, pătratul sinusul înlocui produs. Iată cum:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
Limita acestei expresii când bH tinde la zero, va fi egal cu numărul de zero (0 înmulțit cu 1). Se dovedește că limita raportului Dy / bH este Cos (x ₀₎ · 1-0, acest lucru este Cos (x _0), expresia care este independent de bH tinde la 0. Concluzia: derivata sinusul orice unghi este egal cu x cosinus de x, poate fi scrisă ca: y „= Cos (x).

Formula rezultată este listată în tabelul derivaților cunoscuți, în cazul în care toate funcțiile elementare

În rezolvarea problemelor, unde se întâlnește cu derivata sinusul, puteți utiliza regulile de diferențiere și formule gata făcute din tabel. De exemplu: găsi derivata funcției simple y = 3 · Sin (x) -15. Noi folosim reguli de derivare de ștergere factor numeric elementar pentru semnul instrumentului derivat și se calculează numărul constant derivat (care este zero). Se aplică o valoare tabel sinus a derivatului unghiului x Cos egal (x). Vei primi răspunsul: y „= 3 · cos (x) -O. Acest derivat, la rândul său, este de asemenea o funcție elementară y = H · Cos (x).

Derivatul de sine pătrat de orice argument

La calcularea expresiei (Sin ² (x)) „trebuie să ne amintim funcție complexă cum diferențiată. Deci, ² = Sin (x) - este o funcție de putere ca sinusoidală la pătrat. Argumentul său este, de asemenea, o funcție trigonometrice, un argument complex. Rezultatul, în acest caz, este egală cu produsul primei multiplicatorului este un pătrat de derivat complex al argumentului, iar al doilea - derivatul sinusului. Aici e regula pentru diferențierea o funcție a unei funcții: (u (v (x))) 'este (u (v (x)))' · (v (x))“. Exprimarea v (x) - un argument complex (funcție internă). Dacă funcția dată "y este egal cu sinusul pătrat x", atunci derivata acestei funcții compozit este y „= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produsul a primului multiplicator dublat - derivat cunoscut funcție exponențială, și cos (x) - sinus derivat argument complex al funcției pătratice. Rezultatul final poate fi transformat cu ajutorul formulei sinusului trigonometric a unghiului dublu. A: Derivatul este Sin (2 · x). Această formulă este ușor de reținut, este adesea folosit ca un tabel.