Trapez echilateral Diagonal. Care este linia de mijloc a trapez. Tipuri de trapeze. Trapez - l ..

Trapez - un caz special al unui patrulater, în care o pereche de laturi este paralelă. Termenul „trapez“ este derivat din cuvântul grecesc τράπεζα, însemnând „de masă“, „de masă“. În acest articol ne vom uita la tipuri de trapez și proprietățile sale. De asemenea, ne uităm la modul de calculare a elementelor individuale ale figurii geometrice. De exemplu, diagonala unui trapez echilateral, linia de mijloc, zona si altele. Materialul conținut în geometria elementară stilul popular, t. E. într-un mod ușor accesibil.

Prezentare generală

În primul rând, trebuie să înțelegem ce este un patrulater. Această cifră este un caz special al unui poligon cu patru laturi și patru noduri. Două vârfuri ale unui patrulater, care nu sunt adiacente, numite opuse. Același lucru se poate spune despre cele două părți neadiacente. Principalele tipuri de patrulatere - un paralelogram, dreptunghi, rombul, pătrat, trapez și deltoidul.

Deci, înapoi la trapez. Așa cum am spus, această cifră cele două părți sunt paralele. Acestea sunt numite baze. Celelalte două (non-paralel) - laturile. Materialele diferitelor examinări, de foarte multe ori vă puteți întâlni provocări asociate cu trapeze a căror soluție necesită adesea cunoștințele studentului care nu sunt acoperite de program. School Geometria cursului introduce elevii cu proprietăți unghiuri și diagonalele precum linia mediană a unui trapez isoscel. Dar, altele decât cele menționate la o formă geometrică are alte caracteristici. Dar despre ei mai târziu ...

tipuri de trapez

Există mai multe tipuri de această cifră. Cu toate acestea, cel mai adesea obișnuiește să ia în considerare două dintre ele - isoscel si rectangulare.

1. trapez dreptunghiular - o figură în care una dintre laturile perpendiculare pe bază. Ea are două unghiuri sunt întotdeauna egală cu nouăzeci de grade.

2. trapez isoscel - o figură geometrică a cărei laturi sunt egale. Deci, și unghiurile de la baza, de asemenea, sunt egale.

Principiile de bază ale metodelor pentru studierea proprietăților trapezului

Principiile de bază includ utilizarea așa-numita abordare de sarcină. De fapt, nu este nevoie să intre într-o geometrie curs teoretic de noi proprietăți ale acestei cifre. Ele pot fi deschise sau în procesul de formulare a diferitelor sarcini (mai bine de sistem). Este foarte important ca profesorul să știu ce sarcini de care aveți nevoie pentru a pune în fața studenților în orice moment al procesului de învățare. Mai mult decât atât, fiecare proprietate trapez poate fi reprezentat ca o sarcină-cheie în sistemul de sarcină.

Al doilea principiu este așa-numita organizarea spirală a studiului „remarcabile“ proprietăți trapez. Aceasta implică o revenire la procesul de învățare la caracteristicile individuale ale figurii geometrice. Astfel, elevii mai ușor să le amintească. De exemplu, proprietatea celor patru puncte. Se poate demonstra ca în studiul similaritate și, ulterior, prin utilizarea vectorilor. Un triunghi Egale adiacente laturile figurii, este posibil să se dovedească prin utilizarea nu numai proprietățile de triunghiuri cu inaltimi egale realizate pe laturile din care se află pe o linie dreaptă, dar, de asemenea, prin utilizarea formulei S = 1/2 (ab * sinα). Mai mult, este posibil să se lucreze în legea sinus la trapezului inscripționată sau triunghi dreptunghic și trapezului descrise în t. D.

Folosirea „extracurricular“ are o figură geometrică în conținutul curs școlar - un tasking de predare tehnologie. Constant pentru a studia de referință proprietățile trecerea celuilalt permite elevilor să învețe trapez mai adânc și asigură succesul sarcinii. Deci, vom proceda la studiul acestei figuri remarcabile.

Elemente și proprietăți ale unui trapez isoscel

Așa cum am observat, în această figură geometrică părți sunt egale. Cu toate acestea, este cunoscut ca un trapez drept. Și ce este atât de remarcabil și de ce a primit numele său? Caracteristicile speciale ale acestei cifre se referă că ea are nu numai laturile egale și unghiuri de la baza, dar, de asemenea, pe diagonală. În plus, suma unghiurilor unui trapez isoscel este egală cu 360 de grade. Dar asta nu e tot! Numai în jurul valorii de isoscel poate fi descrisă printr-un cerc al tuturor trapeze cunoscute. Acest lucru se datorează faptului că suma unghiurilor opuse în această figură este de 180 de grade, și numai în conformitate cu această condiție poate fi descrisă ca un cerc în jurul patrulaterul. Următoarele proprietăți ale figurii geometrice este aceea că distanța de la partea de sus a bazei pentru proiecția vârfurilor opuse pe linia care conține această bază va fi egală cu linia mediană.

Acum, să ne uităm la modul de a găsi colțurile unui trapez isoscel. Luați în considerare o soluție la această problemă, cu condiția ca dimensiunea părților cunoscute figura.

decizie

Se obișnuiește să denote literele Quadrangle A, B, C, D, unde BS și BP - o fundație. Într-un trapez isoscel laturile sunt egale. Presupunem că mărimea lor este egală cu X și dimensiunile Y sunt baze și Z (și mai mică, respectiv). Pentru calcularea unghiului de necesitatea de a cheltui în înălțimea H. Rezultatul este un triunghi dreptunghic ABN unde AB - ipotenuzei, și BN și AN - picioarele. Se calculează mărimea unui picior: scade de la baza mai mare minim, iar rezultatul este împărțit la 2. scrie formula: (ZY) / 2 = F. Acum, pentru a calcula unghiul ascuțit al utilizării triunghi cos funcții. Obținem următoarea intrare: cos (β) = X / F. Acum, se calculează unghiul: β = arcos (X / F). Mai mult, știind un colț, putem determina și în al doilea rând, pentru a face această operație aritmetică elementară: 180 - β. Toate unghiurile sunt definite.

Există, de asemenea, oa doua soluție a acestei probleme. La început este omis din colțul din înălțimea piciorului N. calculează valoarea BN. Știm că pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Obținem: BN = √ (X2 F2). În continuare, vom folosi funcția tg trigonometrice. Rezultatul este: β = arctg (BN / F). Unghiul ascuțit este găsit. În continuare, vom defini un unghi obtuz ca în prima metodă.

Proprietatea diagonalele unui trapez isoscel

În primul rând, vom scrie cele patru reguli. În cazul în diagonală într-un trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci:

- înălțimea figurii este egală cu suma bazelor, împărțit la doi;

- înălțimea sa și linia de mijloc sunt egale;

- zona trapezului este egală cu pătratul înălțimii (linia mediană a bazelor jumătate);

- pătrat diagonalei unui pătrat este egală cu jumătate din suma de două ori baze pătrate sau midline (înălțime).

Acum, uita-te la formula care definește diagonala unui trapez echilateral. Această informație poate fi împărțită în patru părți:

lungimea diagonalei 1. Formula prin partea sa.

Presupunem că A este - o bază inferioară, B - Top, C - laturile egale, D - diagonală. În acest caz, lungimea poate fi determinată după cum urmează:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formula pentru lungimea diagonalei cosinus.

Presupunem că A este - o bază inferioară, B - Top, C - laturile egale, D - diagonală, α (la baza inferioară) și β (baza superioară) - colțuri trapez. Obținem următoarea formulă, prin care se poate calcula lungimea diagonalei:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C cosα *).

3. Formula lungime diagonală a unui trapez isoscel.

Presupunem că A este - o bază inferioară, B - superior, D - diagonal, M - linia de mijloc H - înălțimea, P - zona de trapez, a și β - unghiul dintre diagonalele. Determinați lungimea următoarele formule:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Pentru acest caz, egalitatea: sinα = sinβ.

lungimea diagonalei 4. Formula prin părțile laterale și înălțimea.

Presupunem că A este - o bază inferioară, B - Top, C - fete, D - diagonală, H - înălțimea, α - unghi cu baza inferioară.

Determinați lungimea următoarele formule:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F ctgα *) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elemente și proprietăți ale unui trapez dreptunghiular

Să ne uităm la ceea ce sunt interesați în această figură geometrică. Așa cum am spus, avem un trapez dreptunghiular două unghiuri drepte.

Pe lângă definiția clasică, există și altele. De exemplu, un trapez dreptunghiular - un trapez, în care o parte este perpendicular pe bază. Sau formă având la unghiuri laterale. In acest tip de înălțime trapeze este partea care este perpendicular pe bazele. Linia de mijloc - un segment care face legătura între punctele mediane ale celor două părți. Proprietatea elementului menționat este că este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma lor.

Acum, să ia în considerare formulele de bază care definesc formele geometrice. Pentru a face acest lucru, presupunem că A și B - bază; C (perpendicular pe bază) și D - laturile trapezului dreptunghiular, M - linia de mijloc, α - unghi ascuțit, P - zona.

1. Partea perpendicular pe bazele, o cifră egală cu înălțimea (C = N), și este egală cu lungimea celei de a doua latură A și sinusul unghiului a la o bază mai mare (C = A * sinα). Mai mult decât atât, este egală cu produsul tangentei unghiului a acute și diferența de baze: C = (A-B) * tgα.

2. D lateral (nu perpendicular pe bază) egală cu raportul dintre diferența dintre A și B și cosinus (α) sau un unghi ascuțit înălțimea particular figurile H și unghiul ascuțit sine: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Partea care este perpendiculară pe baze, este egală cu rădăcina pătrată a pătratului diferenței D - a doua parte - și un pătrat diferențe de bază:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Fața A trapezoid dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a unei sume pătrat de o latură pătrată și baze C diferență formă geometrică: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. partea C este egală cu raportul dintre pătrat dublu suma bazelor sale: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Zona definită de M produsul (linia mediană a trapezului dreptunghiulare) în înălțime sau direcție laterală perpendiculară bazelor: P = M * N = M * C.

7. Poziția C este coeficientul de două ori forma patrata de produs unghi ascuțit sinus și suma bazelor sale: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. parte Formula unui trapez dreptunghiular prin diagonală, iar unghiul dintre ele:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

unde D1 și D2 - diagonală trapezului; α și β - unghiul dintre ele.

9. Formula laterală printr-un unghi de la baza inferioară și altele: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Deoarece trapez cu unghiuri drepte este un caz particular al trapezului, celelalte formule care determină aceste cifre, se vor întâlni și rectangulare.

incircle Proprietăți

În cazul în care condiția se spune că într-un cerc trapez înscris dreptunghiular, atunci puteți utiliza următoarele proprietăți:

- cantitatea de bază este suma laturilor;

- distanța de la partea de sus a formei dreptunghiulare a punctelor de tangență a cercului inscris este întotdeauna egal;

- înălțimea trapezului este egală cu latura, perpendicular pe baze, și este egală cu diametrul cercului ;

- centrul cercului este punctul în care se intersectează Bisectoarele unghiuri ;

- în cazul în care partea laterală a punctului de contact este împărțit în lungimi N și M, atunci raza cercului este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente;

- patrulater format de punctele de contact, în partea de sus a trapezului și centrul cercului inscris - este un pătrat, a cărui latură este egală cu raza;

- zona din cifra este produsul rațiunii și produsul din jumătatea sumei de baze de la înălțimea sa.

trapez similare

Acest subiect este foarte util pentru studierea proprietăților figuri geometrice. De exemplu, fracționarea diagonală în patru triunghiuri trapezoidală și sunt adiacente la baza cum ar fi, și laturile - egal. Această afirmație poate fi numită o proprietate de triunghiuri, care este rupt trapez diagonalele sale. Prima parte a acestei afirmații este dovedită prin semnul similitudinii dintre cele două colțuri. Pentru a dovedi a doua parte este mai bine să utilizeze metoda descrisă mai jos.

dovada

Acceptați faptul că cifra ABSD (AD si BC - baza trapezului) este diagonalele rupt HP și AC. Punctul de intersecție - O. Obținem patru triunghiuri: AOC - la baza inferioară, BOS - baza superioară, ABO și SOD la părțile laterale. Triunghiuri SOD și biofeedback au o înălțime comună în acest caz, în cazul în care segmentele de BO și DO sunt bazele lor. Considerăm că diferența dintre zonele lor (P) egală cu diferența dintre aceste segmente: OUP / PSOD = BO / ML = K. Prin urmare, PSOD = OUP / K. În mod similar, AOB triunghiuri și biofeedback-ul să aibă o înălțime comună. Acceptate pentru segmentele lor de bază SB și OA. Obținem OUP / PAOB = CO / OA = K și PAOB = OUP / K. Din aceasta rezultă că PSOD = PAOB.

Pentru a consolida elevii materiale sunt încurajați să găsească o legătură între zonele de triunghiuri obținute, care este rupt trapez diagonalele sale, decide următoarea sarcină. Este cunoscut faptul că zonele de triunghiuri BOS si ADP sunt egale, este necesar să se găsească aria unui trapez. Deoarece PSOD = PAOB, apoi PABSD OUP + = PAOD + 2 * PSOD. Din similitudinea triunghiurilor BOS și rezultă că BO ANM / OD = √ (OUP / PAOD). În consecință, OUP / PSOD = BO / OD = √ (OUP / PAOD). Ia-PSOD = √ (* OUP PAOD). Apoi PABSD OUP + = PAOD + 2 * √ (PAOD OUP *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

proprietăţile similaritate

Continuând să dezvolte această temă, este posibil să se dovedească, precum și alte caracteristici interesante ale trapezelor. Deci, cu ajutorul similitudinii poate dovedi segmentul de proprietate, care trece prin punctul format prin intersecția diagonalelor figura geometrică, paralel cu solul. Pentru aceasta vom rezolva următoarea problemă: este necesar să se găsească segmentul RK lungime care trece prin punctul O. Din asemănarea triunghiurilor ADP și că urmează SPU AO / OS = AD / BS. Din similitudinea triunghiurilor ADP și ASB rezultă că AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Acest lucru implică faptul că BS * PO = AD / (AD + BC). În mod similar, din similitudinea dintre triunghiuri MLC și ABR rezultă că OK * BP = BS / (BP + BS). Acest lucru implică faptul că OC și RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor paralele cu baza și care leagă cele două părți, punctul de intersecție este împărțită în jumătate. Lungimea sa - este media armonică a cifrelor motiv.

Luați în considerare următoarele caracteristici ale unui trapez, care se numește proprietatea a patru puncte. punctul de intersecție al diagonalelor (D), intersecția continuării laturilor (E) precum și mijlocul bazelor (T și G) se află întotdeauna pe aceeași linie. Este ușor de a dovedi metoda de similaritate. Triunghiurile rezultate sunt BES similare și AED și fiecare incluzând o mediană ET și Dly împarte unghiul la vârf E în părți egale. Prin urmare, punctul E, T și F sunt coliniare. În mod similar, pe aceeași linie sunt aranjate în termeni de T, O, și G. Acest lucru rezultă din similitudinea triunghiurilor BOS și ANM. De aici putem trage concluzia că toate cele patru termeni - E, T, O și F - se va intinde pe o linie dreaptă.

Folosind trapeze similare, pot fi oferite studenților pentru a găsi lungimea segmentului (LF), care împarte figura în două cum ar fi. Această reducere trebuie să fie paralelă cu bazele. Deoarece trapez ALFD LBSF primite și similare, BS / LF = LF / AD. Acest lucru implică faptul că LF = √ (BS * BP). Concluzionăm că segmentul care se divide în două trapez cum ar fi, are o lungime egală cu media geometrică a lungimilor bazelor figura.

Luați în considerare următoarea proprietate similaritate. Ea se bazează pe segmentul care împarte trapezul în două bucăți de dimensiuni egale. Acceptați faptul că segmentul de trapez ABSD este împărțit în două EH similare. Din partea de sus B a redus înălțimea segmentului este împărțit în două părți RO - B1 și B2. Obține PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. compune în continuare sistemul, în care prima ecuație (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 și al doilea (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Rezultă că B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) și BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Considerăm că lungimea împărțirea trapezului pe două egale, egale cu lungimile medii ale bazelor pătratice: √ ((CN2 + aq2) / 2).

concluziile similaritate

Astfel, am demonstrat că:

1. Segmentul care leagă mijlocul trapezului pe laturile laterale, paralele cu BP și BS și BS este media aritmetică și (lungimea de bază a unui trapez) BP.

2. Bara care trece prin punctul O de intersecție a diagonalelor AD paralel și BC va fi egal cu numărul mediu armonice BP și BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmentul de rupere în trapezoid similară are o lungime medie geometrică baze BS și BP.

4. Elementul care împarte forma în două dimensiuni egale, cu o lungime medie de numere pătrate BP și BS.

Pentru a consolida materialul și conștientizarea legăturilor dintre segmentele de student este necesar să le construiască pentru trapez specifice. El poate afișa cu ușurință linia medie, cât și segmentul care trece prin punctul - intersecția diagonalelor cifrelor - paralelă cu solul. Dar unde va fi al treilea și al patrulea? Acest răspuns va duce elevul la descoperirea relației necunoscute dintre valorile medii.

Segmentul care unește punctele de centru ale diagonalelor trapezului

Luați în considerare următoarea proprietate a figurii. Acceptăm că MN segment este paralelă cu bazele și împărțiți în jumătate în diagonală. punctul de intersecție este numit W și S. Acest segment va fi egală cu jumătate din diferența motiv. Să examinăm acest lucru mai detaliat. MSH - linia medie a triunghiului ABS, este egal cu BS / 2. Minigap - linia de mijloc a DBA triunghi, este egal cu AD / 2. Apoi am descoperit că SHSCH = minigap-MSH, prin urmare, SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centrul de greutate

Să ne uităm la modul de a defini elementul pentru o figură geometrică dată. Pentru a face acest lucru, trebuie să se extindă baza în direcții opuse. Ce înseamnă? Este necesar să se adauge baza de la partea de jos de sus - la oricare dintre părți, de exemplu, la dreapta. O prelungesc mai mică lungimea stânga sus. Apoi, conectați lor diagonală. Punctul de intersecție al acestui segment cu linia centrală a figurii este centrul de greutate al trapezului.

Inscripționată și descrise trapez

Lista Să caracteristici astfel de cifre:

1. Linia poate fi înscris într-un cerc numai dacă este isoscel.

2. In jurul cercului poate fi descris ca un trapez, cu condiția ca suma lungimilor bazelor lor este suma lungimilor laturilor.

Consecințele cercului înscris:

1. Înălțimea trapezului descris întotdeauna egală cu de două ori raza.

2. Partea trapezului descrisă este privit din centrul cercului la unghiuri drepte.

Prima consecință este evidentă, și de a dovedi a doua este necesar să se stabilească faptul că unghiul de SOD este directă, adică, de fapt, de asemenea, să nu fie ușor. Dar cunoașterea acestei proprietăți vă permite să utilizați un triunghi dreptunghic pentru a rezolva problemele.

Acum vom specifica consecințele pentru trapez isoscel, care este înscris într-un cerc. Obținem ca inaltimea este geometrice baze medii figura: H = 2R = √ (BS * BP). Indeplinirea metoda de bază de rezolvare a problemelor pentru trapeze (principiul a două înălțimi), studentul trebuie să rezolve următoarea sarcină. Acceptați faptul că BT - înălțimea isoscele cifre ABSD. Trebuie să găsești întinderi de AT și AP. Aplicând formula descrisă mai sus, se va face nu este dificil.

Acum, să ne explice cum de a determina raza cercului din zona descrisă trapez. Omise de la înălțimea superioară B, pe baza BP. Deoarece cercul înscris în trapezului, BS + 2AB = BP sau AB = (BS + BP) / 2. Din triunghiul ABN găsi sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Obține PABSD = (BP + BS) * R, rezultă că R = PABSD / (AD + BC).

.

Toate formulele trapez linia mediană

Acum este timpul pentru a merge la ultimul element al acestei figuri geometrice. Vom înțelege, ceea ce este linia de mijloc a trapezului (M):

1. Prin baze: M = (A + B) / 2.

2. După înălțimea, baza și colțuri:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Printr-o înălțime și diagonală unghi între ele. De exemplu, D1 și D2 - diagonala trapezului; α, β - unghiul dintre ele:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. În cadrul zonei și înălțimea: M = R / N.