Baze de analiză matematică. Cum de a găsi derivat?

Derivata unei funcții f (x) la o anumită funcție punct x0 limită numit raport de creștere a incrementul argumentului, cu condiția ca x să fie 0, și există limita. Derivata desemnat, în general, accident vascular cerebral, uneori, prin punctul sau prin intermediul unui diferențial. De multe ori, derivata rezultatelor înșelătoare transfrontaliere, deoarece o astfel de reprezentare este rar folosit.

Funcția, care are derivata la un anumit punct x0, numit diferențiabile la un astfel de punct. Să presupunem, D1 - o multitudine de puncte, la care se diferențiază funcția f. Atribuirea la fiecare unul dintre numerele x, aparținând D f „(x), obținem zona de desemnare funcția D1. Această funcție este derivat y = f (x). Este desemnat ca: f „(x).

Mai mult, derivatul frecvent utilizat în fizică și inginerie. Să considerăm un exemplu simplu. Punctul de materialul se deplasează pe o axă de coordonate, când a fost întrebat ce legea de mișcare, adică x coordinate a acestui punct este cunoscută x funcția (t). În intervalul de timp de la t0 la t0 + t este egal cu deplasarea punctului x (t0 + t) -x (t0) = x, iar media viteza sa v (t) egală cu x / t.

Uneori, natura mișcării prezentate, astfel încât viteza medie nu se schimba la intervale mici de timp, ceea ce înseamnă că mișcarea cu un grad mai mare de precizie este considerată a fi uniformă. Alternativ, valoarea medie a vitezei dacă t0 urmează la o anumită valoare absolut precisă, și este denumit viteza instantanee v (t0) acel punct la un anumit moment de timp t0. Se crede că viteza instantanee v (t) este cunoscut pentru orice funcție x diferențiată (t), la ce v (t) este egală cu x „(t). Pur și simplu pune, viteza - este un derivat al coordonatelor de timp.

Viteza Instantanee are valori pozitive și negative, iar valoarea este 0. Dacă este la un anumit interval de timp (t1, t2) este pozitiv, atunci punctul se deplasează în aceeași direcție, adică, x (t) să coordoneze crește cu timpul, iar dacă v (t) este negativă, atunci x (t) coordonatei scade.

În cazuri mai complexe, punctul se deplasează în planul sau în spațiu. Apoi, viteza - o mărime vectorială și determină fiecare dintre coordonatele unui vector v (t).

În mod similar, se poate compara accelerația punctului. Viteza este o funcție de timp, adică, v = v (t). Un derivat al unei astfel de funcții - accelerație de mișcare: a = v „(t). Asta este, se pare că derivata de viteză de accelerare.

Să presupunem că y = f (x) - orice funcție diferențiată. Apoi, putem considera mișcarea unui punct de pe axa de coordonate, care are loc pentru legea x = f (t). întreținerea mecanică a derivat oferă posibilitatea de a oferi o interpretare clară a teoremelor ale calculului diferențial.

Cum de a găsi derivat? Găsirea derivata unei funcții se numește diferențierea acesteia.

Se pune dumneavoastră Exemple de modul de a găsi derivata funcției:

Derivata unei funcții constantă egală cu zero; derivat al funcției y = x este egal cu unitatea.

Și cum să găsească derivata fracțiunii? Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarele materiale:

Pentru orice x0 <> 0 avem

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Există câteva reguli, cum să găsească derivatul. Și anume:

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate punctul x0, atunci suma lor este diferențiată la un punct: (A + B) '= A' + B“. Pur și simplu pune, derivata o sumă egală cu suma derivatelor. Dacă funcția este diferențiată la un moment dat, atunci trebuie să incrementa la zero atunci când urmează argumentul la câștig zero.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate punctul x0, atunci produsul lor este diferențiată la: (A * B) '= A'b + AB'. (Funcții Valorile și derivații acestora sunt calculate la punctul x0). Dacă funcția A (x) este diferențiată la punctul x0 și C - constantă, atunci funcția CA este diferențiată în acest punct și (CA) „= CA“. Adică, un factor constant luat în afara semnul derivatului.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate punctul x0, iar funcția B nu este egal cu zero, atunci raportul lor diferențiate la: (A / B) '= (A'b-AB') / B * B.