Paradoxul lui Russell: informații de bază, exemple, formulare

Russell paradox este de două antinomie logică interdependente.

Două forme de paradoxul lui Russell

Forma cea mai frecvent discutat de o contradicție în seturi logice. O parte din setul pare a fi membrii înșiși, și alții - nu. Setul de toate seturile este ea însăși un set, deci se pare că se referă la sine. Nul sau gol, cu toate acestea, nu ar trebui să fie un membru al sine. Prin urmare, mulțimea tuturor seturilor, ca zero nu este inclusă în sine. Paradoxul apare atunci când întrebarea dacă setul de un membru al sine. Acest lucru este posibil dacă și numai dacă nu este.

O altă formă paradox este o contradicție în ceea ce privește proprietățile. Unele proprietăți, pare să se refere la ei înșiși, în timp ce altele nu sunt. Proprietatea de a fi proprietatea în sine este o proprietate, în timp ce proprietatea sa fie ea o pisica nu este. Luați în considerare proprietatea de a avea o proprietate care nu îi aparține. în cazul în care se aplică în sine? Din nou, oricare dintre ipotezele ar trebui să fie invers. Paradoxul a fost numit în onoarea lui Bertrand Russell (1872-1970), care a descoperit în 1901.

poveste

Deschiderea Russell a avut loc în timpul activității sale privind „Principiile de matematică“. Deși el a descoperit paradoxul independent, există dovezi că alți matematicieni și dezvoltatori de teoria mulțimilor, inclusiv Ernst Zermelo și David Hilbert, au fost conștienți de prima versiune de contradicții în fața lui. Russell, cu toate acestea, a fost primul care a discutat în detaliu paradoxul în lucrările sale publicate, în primul rând a încercat să formuleze soluții și primul care a apreciat pe deplin semnificația. Un capitol întreg „Principii“ a fost dedicată discutării acestei probleme, iar cererea a fost dedicată teoriei tipurilor, care Russell a propus ca soluție.

Russell a descoperit „paradoxul mincinosului“, având în vedere teoria multimilor a lui Cantor care spune că puterea de orice set este mai mic decât setul de subseturi sale. cel puțin în domeniul La ar trebui să fie cât mai multe subseturi, deoarece există elemente în ea, în cazul în care un subset al fiecărui element este setat care conține numai acest element. Mai mult, Cantor a demonstrat că numărul de elemente nu poate fi egal cu numărul de subseturi. Dacă ar fi fost același număr, ar trebui să existe ƒ facilitate care ar afișa elemente de pe subseturi lor. În același timp, se poate demonstra că acest lucru este imposibil. Unele elemente pot fi afișate pe subseturi de funcție ƒ pe care le conțin, în timp ce altele nu pot.

Luați în considerare subsetul de elemente care nu aparțin imaginile lor, în care afișează ƒ. Acesta este ea însăși un subset de elemente, și, prin urmare, funcția ƒ ar afișa pe un element în domeniu. Problema este că, atunci se pune întrebarea dacă acest element face parte din subsetul la care afișează ƒ. Acest lucru este posibil numai în cazul în care nu face parte. Paradoxul lui Russell poate fi văzut ca un exemplu de aceeași linie de raționament, doar simplificată. Ce este mai mult - seturile sau subseturi ale setului? S-ar părea că ar trebui să existe mai multe seturi, ca toate subgrupurile de seturi în sine. Dar dacă teorema lui Cantor este adevărată, atunci ar trebui să existe mai multe subgrupuri. Russell privit pur și simplu afișa seturi pe ei înșiși și se aplică abordarea kantoriansky având în vedere mulțimea tuturor acestor elemente, în afara unui set în care acestea sunt afișate. Se afișează Russell devine set de toate seturile, un non.

eroare Frege

„Paradoxul mincinosului“ a avut un impact profund asupra dezvoltării istorice a teoriei seturilor. El a arătat că noțiunea de set universal este foarte problematică. El a pus la îndoială, de asemenea, ideea că pentru fiecare condiție definită sau predicat își poate asuma existența unei multitudini de numai acele lucruri care îndeplinesc această condiție. Opțiunea paradox în ceea ce privește proprietățile - o extensie naturală a seturilor versiune - ridică îndoieli serioase cu privire la dacă este posibil să se argumenteze despre existența obiectivă a unei proprietăți sau o conformitate universală pentru fiecare determinată de condiția sau predicatul.

Curând au fost găsite contradicțiile și problemele din activitatea logicienii, filosofi și matematicieni care au făcut presupuneri similare. In 1902, Russell a constatat că o variantă a paradoxului poate fi exprimat într-un sistem logic, dezvoltat în volumul I al „Fundamentele aritmetică“ Gottlob Frege, una dintre principalele lucrări pe logica târziu XIX - începutul secolului XX. În filozofia Frege mulți înțeleasă ca o „prelungire“ sau conceptul de „valoare-range“. Conceptele sunt cele mai apropiate de cele ale corelări. Ele sunt de așteptat să existe pentru orice condiție dată sau predicat. Astfel, există un concept al unui set, care nu se încadrează în conceptul definitoriu. Există, de asemenea, o clasă definită de acest concept, și este supus definirii conceptului său numai în cazul în care nu este.

Russell a scris la Frege despre acest conflict, în iunie 1902. Corespondența a fost una dintre cele mai interesante și a vorbit despre în istoria logicii. Frege a recunoscut imediat consecințele dezastruoase ale paradoxului. El a menționat însă, că versiunea controversa cu privire la proprietățile din filozofia lui a fost soluționată prin diferențierea între conceptele de niveluri.

noțiunea Frege înțeleasă ca trecerea de argumentele funcției la TRUE. Conceptele primul nivel luând ca argumente obiectele din al doilea nivel de concepte iau ca argumente pentru aceste funcții, și așa mai departe. Astfel, conceptul nu se poate lua ca argument, iar paradoxul în ceea ce privește proprietățile nu pot fi formulate. Cu toate acestea seturi, extinderea sau concepte Frege înțelese ca referindu-se la același tip logic ca și cea a tuturor celorlalte obiecte. Apoi, pentru fiecare set există o întrebare dacă aceasta se încadrează în conceptul de definirea acesteia.

Când Frege, Russell a primit prima literă, al doilea volum al „Fundamentele aritmetică“ este deja terminat de imprimare. El a fost forțat să se pregătească rapid o aplicație care dă un răspuns la paradoxul lui Russell. Exemplele Frege conținea un număr de soluții posibile. Dar el a ajuns la concluzia de a slăbi conceptul de set abstracție într-un sistem logic.

În original, a fost posibil să se concluzioneze că obiectul aparține mulțimii dacă și numai dacă se încadrează în conceptul, îl definește. Sistemul revizuit poate concluziona doar că obiectul aparține mulțimii dacă și numai dacă se încadrează în noțiunea de definire a unei multitudini, dar nu sunt setate în cauză. Paradoxul lui Russell apare.

Soluția, cu toate acestea, nu este pe deplin mulțumit de Frege. Și acesta a fost motivul. Câțiva ani mai târziu, forma mai complexă a contradicția a fost găsit pentru sistemul revizuit. Dar chiar și înainte de aceasta sa întâmplat, Frege a abandonat deciziile sale și par să ajungă la concluzia că abordarea sa a fost pur și simplu inaplicabilă și că logica va trebui să facă fără nici un fel de seturi.

Cu toate acestea au fost propuse altele, soluții alternative relativ mai mult succes. Acestea sunt discutate mai jos.

Teoria tipurilor

Sa observat mai sus că Frege a fost un răspuns adecvat la paradoxurile teoriei set în versiunea formulată pentru proprietăți. răspunsul Frege a fost precedat de soluția cea mai des discutată la această formă de paradox. Ea se bazează pe faptul că proprietățile sunt supuse unor diferite tipuri și ce tip de proprietate nu este la fel ca și elementele la care se referă.

Astfel, apare nici măcar întrebarea, dacă proprietatea este aplicabilă în sine. limbaj logic, care separă elementele unei astfel de ierarhie, folosind teoria tipurilor. Deși este deja utilizat de Frege, prima dată este explicată și Russell justificate în anexa la „principiul“. Teoria tipurilor a fost mai completă decât distincția nivelurilor Frege. Ea a împărtășit proprietăți nu sunt doar diferite tipuri de logică, dar, de asemenea, setat. de tip teorie pentru a rezolva contradicția în paradoxul lui Russell urmează.

Pentru a fi un filosofic adecvat, adoptarea teoriei tipurilor de proprietăți necesită dezvoltarea teoriei naturii proprietăților, astfel încât ar putea explica de ce nu pot fi aplicate pentru ei înșiși. La prima vedere, este logic să predicat propria lor proprietate. Proprietatea de a fi auto-identitate, se pare, de asemenea, este o identitate de sine. Proprietatea pare a fi o plăcută frumos. În același mod, se pare, se pare fals să spunem că proprietatea de a fi o pisica este o pisica.

Cu toate acestea, diferite gânditori justificat divizarea diferitelor tipuri. Russell a dat chiar și explicații diferite la momente diferite din cariera sa. La rândul său, rațiunea pentru separarea diferitelor concepte de niveluri Frege vine de la teoria sa de concepte nesaturate. Concepte ca funcție, în esență, sunt incomplete. Pentru a oferi valoare, au nevoie de un argument. Nu doar un concept poate să predicat conceptul de același tip, deoarece necesită în continuare argumentul său. De exemplu, deși este posibil să se ia rădăcina pătrată a rădăcina pătrată a unui număr, nu puteți utiliza doar o funcție de rădăcină pătrată la pătrat funcția rădăcină și a obține un rezultat.

Despre proprietățile conservatorism

O altă soluție posibilă este proprietăți paradoxale proprietăți negare existența în orice condiții date, sau un predicat bine format. Desigur, dacă cineva se eschiveaza proprietăți metafizice ale ambelor elemente obiective și independente, în ansamblu, dacă luăm nominalismul paradox poate fi evitat complet.

Cu toate acestea, pentru a rezolva antinomia nu trebuie să fie atât de extreme. Logic sisteme de ordin superior dezvoltat Frege și Russell, conține ceea ce se numește un principiu conceptual, potrivit căruia fiecare formule deschise, indiferent de cât de complex există ca parte a unei proprietăți sau a unui concept de exemplu, numai acele elemente care se potrivesc cu formula. Ei au aplicat la atributele fiecărui set de posibile condiții sau predicate, indiferent cât de complexe au fost.

Cu toate acestea, a fost posibil să ia un proprietăți mai riguroase metafizică, dând dreptul la existența obiectivă a proprietăților simple incluzând, de exemplu, cum ar fi culoarea roșie, fermitate, bunătate și așa mai departe. D. Puteți lăsa chiar și aceste proprietăți se aplică ele însele, cum ar fi bunătate poate să fie un fel.

Și același statut de atribute complexe poate fi negată, de exemplu, astfel de „proprietăți“ ca având șaptesprezece capete, fie scrise sub apă și altele asemenea. D. în acest caz, nici o condiție predeterminată nu îndeplinește proprietatea, înțeleasă ca mod separat Element, care are propriile sale proprietăți existente. Astfel, se poate nega existența unor proprietăți simple, fie-proprietate care-non-aplicat la sine și să evite paradoxul prin aplicarea proprietăților metafizice mai conservatoare.

Paradoxul lui Russell: soluția

Mai sus sa menționat că, la sfârșitul vieții sale Frege abandonat complet logica seturi. Aceasta, desigur, o soluție la antinomia sub formă de seturi: o simpla negare a existenței unor elemente, cum ar fi un întreg. În plus, există și alte opțiuni populare, elementele de bază din care sunt prezentate mai jos.

Teoria pentru mai multe tipuri de

Așa cum am menționat mai devreme, Russell a jucat pentru o teorie mai completă a tipurilor, care vor împărți nu numai proprietățile sau concepte diferite tipuri, dar, de asemenea, setat. Russell se permite accesul pe o multitudine de unități separate, o multitudine de seturi de obiecte separate, etc. Seturile de obiecte care nu au fost luate în considerare, și o multitudine de seturi - .. Seturi. O mulțime de nu sa bucurat niciodată de tipul, vă permite să aveți ca membru al sine. Prin urmare, nu există nici un set de toate seturile care nu sunt membri ai propriei sale, deoarece pentru orice set de întrebări cu privire la dacă acesta este ca un membru, este ea însăși un tip de încălcare a. Din nou, problema aici este de a explica metafizica seturi pentru a explica bazele filosofice ale diviziunii în tipuri.

stratificare

În 1937, V. V. Kuayn a oferit o soluție alternativă, într-un mod similar cu teoria tipurilor. Informații de bază despre aceasta sunt.

Separarea seturi și altele de elemente. În așa fel încât ipoteza de a găsi o pluralitate întotdeauna este incorectă sau lipsită de sens. Seturile pot fi furnizate numai la definirea condițiilor lor nu sunt un tip de încălcare a. Astfel, pentru Quine, expresia „X nu este un membru al x“ este declarația semnificativă nu implică existența setului tuturor elementelor x care îndeplinesc această condiție.

În acest sistem există un set pentru o formulă deschisă A dacă și numai dacă este stratificat, t. E. În cazul în care variabilele sunt atribuite numere naturale, astfel încât, pentru fiecare apariție caracteristică a unei multitudini de precedarea variabilă este atribuită unității de atribuire mai mică decât variabila, în urma după el. Acest paradox blochează Russell, deoarece formula folosită pentru a determina setul problemă, există aceeași înainte și după semnul de membru variabilă făcându-l unstratified.

Dar nu a fost încă pentru a determina dacă sistemul rezultat, care Quine numit „Noi Fundamentele logicii matematice“ coerente.

respingere

O abordare cu totul diferită este luată în teoria Zermelo - Fraenkel (ZF). Aici, de asemenea, stabili o limită privind existența seturilor. In schimb, se apropie de „top-down“ de Russell și Frege, care a crezut inițial că pentru toate concepte, proprietăți, sau condiții pot sugera existența setului tuturor lucrurilor cu această proprietate sau pentru a îndeplini o astfel de condiție, în ZF-teorie, totul porneste „de jos în sus.“

Elementele individuale ale setului goale și formează un set. Prin urmare, spre deosebire de sistemele anterioare și Russell Frege FIT nu face parte din setul universal, care include toate elementele și chiar toate seturile. ZF stabilește limite stricte cu privire la existența unor seturi. Pot exista numai acelea pentru care este în mod clar postulat sau care pot fi formulate prin procedee iterative și altele asemenea. D.

Apoi, în locul conceptului de abstractizare set naiv care prevede că un anumit element este inclus în setul, dacă și numai dacă îndeplinește condițiile în principiul de separare utilizat DF, separare sau „sortare“. În loc de a presupunând existența setului tuturor elementelor care sunt, fără excepție, să îndeplinească o anumită condiție, pentru fiecare set existent Aussonderung indică existența unui subset al tuturor elementelor din setul original, care îndeplinește condiția.

Apoi vine principiul abstractizare: dacă mulțimea A există, atunci, pentru orice x în A, x aparține subset A, care îndeplinește condiția dacă și numai dacă x satisface condiția C. Această abordare rezolvă paradoxul Russell, din moment ce nu putem presupune pur si simplu adică, setul de toate seturile care nu sunt membri ai ei înșiși.

Având o mulțime de seturi, puteți selecta sau împărțiți-l în seturi, care sunt în sine, și cei care nu sunt de natură, dar din moment ce nu există nici un set universal, noi nu suntem legați set de toate seturile. Fără presupunând că problema stabilește Russell contradicție nu poate fi dovedită.

alte soluții

În plus, au existat extinderi sau modificări ulterioare ale acestor soluții, cum ar fi o teorie de tip furculiță „Principii de matematică“ expansiune sistem „logică matematică“ Quine, precum și evoluțiile mai recente în teoria seturi, a făcut Bernays, Gödel și von Neumann. Întrebarea dacă răspunsul la paradoxul insolubila Bertrand Russell găsit, este încă o chestiune de dezbatere.