Algebra booleană. algebra logicii. Elemente de logică matematică

În lumea de astăzi ne folosesc tot mai mult o varietate de mașini și gadget-uri. Și nu numai atunci când este necesar să se aplice puterea literalmente supraomenească: mutați sarcina să-l ridice la înălțimea, să sape tranșee lung și adânc, etc Mașini de astăzi se colectează roboți, alimente este gătit Multivarki și calcule aritmetice elementare produc calculatoare ... Mai mult și mai des auzim expresia „algebra booleană“. Poate că a venit timpul pentru a înțelege rolul ființelor umane în crearea de roboți și mașini capacitatea de a rezolva nu numai matematică, dar , de asemenea , probleme logice.

logică

În logica greacă - un sistem ordonat de gândire care creează relația dintre condițiile date și vă permite să facă deducții bazate pe ipoteze și estimări. Destul de des, ne întrebăm unii pe alții: „Este logic să“ Răspunsul confirmă presupunerile noastre sau critică trenul de gândire. Dar procesul nu se oprește aici: vom continua să vorbim.

Uneori, numărul de condiții (de intrare) este atât de mare, iar relația dintre ele este atât de confuz și complex, care creierul uman nu este capabil de a „digera“ dintr-o dată. Poate fi necesar mai mult de o lună (săptămână, an) pentru înțelegerea a ceea ce se întâmplă. Dar viața modernă nu ne dă aceste intervale de timp pentru a lua decizii. Și vom recurge la ajutorul calculatoarelor. Și este aici că există o algebră și logică, cu legile și proprietățile sale. După descărcarea toate datele originale, permitem computerului să recunoască toate relațiile, pentru a elimina contradicțiile și de a găsi o soluție satisfăcătoare.

Matematica si logica

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits a formulat conceptul de „logică matematică“, care sarcini au fost ușor de înțeles doar un mic cerc de oameni de știință. De interes special este direcția nu a cauzat, și la mijlocul secolului al XIX-lea al logicii matematice cunoscute de puțini.

Marele interes în comunitatea științifică a provocat o dispută în care englezul Dzhordzh Bul declarat intenția de a stabili o ramură a matematicii, care nu are absolut nici un folos practic. După cum știm din istorie, în acest moment în curs de dezvoltare în mod activ producției industriale, am dezvoltat tot felul de utilaje auxiliare, t. E. Toate descoperirile științifice au avut o orientare practică.

Privind în perspectivă, putem spune că o algebră booleană - cel mai utilizat în lumea de azi o parte din matematică. Deci, argumentul tău Buhl a pierdut.

Dzhordzh Bul

Personalitatea autorului merită o atenție specială. Chiar și având în vedere faptul că, în trecut, oamenii au crescut în fața noastră, încă mai trebuie remarcat faptul că, în cei 16 ani de John. Buhl predat la școala din sat, și la 20 de ani a deschis propria școală în Lincoln. Matematician stăpânit perfect cinci limbi străine, iar în timpul liber, a fost citit lucrările lui Newton și Lagrange. Și toate acestea - pe fiul unui muncitor obișnuit!

În 1839, Buhl a trimis primele sale lucrări științifice în matematică Cambridge Journal. Om de știință avansat 24 ani. munca lui Boole este atât de membrii interesați ai Societății Regale, în anul 1844 a primit o medalie pentru contribuția sa la dezvoltarea analizei matematice. Au fost descrise câteva lucrări publicate, în care elementele de logică matematică, matematică a permis tinerilor să ia postul de profesor la Colegiul de County Cork. Să ne amintim că la educația foarte Boole nu a fost.

idee

În principiu, algebra booleană este foarte simplu. Există declarații (logice expresii) , care, din punctul de vedere al matematicii, poate fi definit numai în două cuvinte: „true“ sau „false“. De exemplu, copaci în floare de primăvară - adevăr, în vara ninge - o minciună. Frumusetea matematicii este că nu este strict necesar să se utilizeze numai numere. Pentru hotărârile algebra se potrivesc destul de orice declarații cu sens unic.

Astfel, algebra logicii poate fi folosit literalmente peste tot: în instrucțiunea de planificare și scriere, analiza de informații contradictorii cu privire la evenimentele și determinarea succesiunii acțiunilor. Cel mai important lucru - să realizeze că nu contează modul în care stabilim adevărul sau falsitatea declarațiilor. Din aceste „cum“ și „de ce“, trebuie să ignorați. Ceea ce contează este doar o declarație de fapt: adevărul este o minciună.

Desigur, programarea cele mai importante funcții ale algebra logicii, care sunt înregistrate cu semne și simboluri corespunzătoare. Și să învețe - înseamnă să învețe o nouă limbă străină. Nimic nu este imposibil.

Concepte de bază și definiții

Fără a intra în profunzime, avem de a face cu terminologia. Deci, algebra booleană presupune:

• declarații;
• operații logice;
• funcții și legi.

Declarațiile - orice expresie afirmativă, care pot fi interpretate cu două valori. Ele sunt scrise ca numere (5> 3) sau cuvinte familiare formulate (elefant - cel mai mare mamifer). În acest caz, expresia „gâtul girafei nu este“ are, de asemenea, dreptul de a exista, doar algebra booleană defini ca „o minciună.“

Toate declarațiile trebuie să fie lipsite de ambiguitate, dar ele pot fi de bază sau compus. utilizarea recente pachet logic. E. In compus declaratiile algebră judecăți formate prin adăugarea unor operații logice elementare.

operații algebrei booleene

Ne amintim deja că operațiunile în algebra de judecăți - logice. La fel ca algebra numerelor folosind operațiile aritmetice pentru a adăuga, scădea sau pentru a compara numere, elemente logice matematice permit să facă declarații complexe, de a refuza sau pentru a calcula rezultatul final.

operații logice pentru formalizarea și simplitatea exprimată prin formula, familiar pentru noi în aritmetică. Proprietăți de ecuații algebrei booleene face posibilă pentru a înregistra și calcula necunoscut. Operațiile logice sunt de obicei înregistrate de tabelul de adevăr. Elementele sale definesc coloane si operarea de calcul care se efectuează pe ele, iar rândurile arată rezultatul calculelor.

Logica de bază de acțiune

Cele mai frecvente în operațiile algebrei booleene sunt negație (NU), și logic AND și OR. Deci, este posibil să se descrie, practic, toți pașii din judecăți algebra. Am studiat în detaliu fiecare dintre cele trei operații.

Negația (nu) este aplicat doar un singur element (operanzi). Prin urmare, operațiunea se numește o negație unară. Pentru a înregistra conceptul de „nu un“ folosind astfel de simboluri: ¬A, A sau A !. În formă de tabel se pare ca acest lucru:

Funcția de negare tipic pentru o astfel de declarație: dacă A este adevărat, atunci A - este falsă. De exemplu, luna se învârte în jurul Pământului - adevărul; Pământul se învârte în jurul Lunii - o minciună.

multiplicare logică și adăugare

Operație logică AND se numește o conjuncție. Ce înseamnă? În primul rând, că aceasta poate fi aplicat la doi operanzi, adică, I - .. operațiune binar. În al doilea rând, numai în cazul adevărului ambelor operanzi (A și B) este adevărat și expresia în sine. Proverbul „Răbdarea și un pic de efort“ implică faptul că doar doi factori pot ajuta o persoană să facă față dificultăților.

Simbolurile sunt utilizate pentru înregistrare: A∧B, A⋅B sau A && B.

Conjuncția este similar cu multiplicare în aritmetică. Uneori, și spune - multiplicarea logică. Dacă multiplica elementele rândurile din tabel, obținem un rezultat similar cu gândirea logică.

Disjuncția este o operație logică OR. Este adevărat, dacă cel puțin una dintre afirmații este adevărată (A sau B). Este scris ca aceasta: A∨B, A + B sau A || B. tabelul de adevăr pentru aceste operații sunt:

Disjuncție plus aritmetică similară. operațiune logică plus are o singură restricție: 1 + 1 = 1. Dar să ne amintim că într-un format digital este limitată la logica matematică 0 și 1 (unde 1 - adevăr, 0 - fals). De exemplu, afirmația „în muzeu puteți vedea o capodoperă sau de a găsi o companie bună“ înseamnă ceea ce se poate vedea opere de artă, și este posibil să se întâlnească o persoană interesantă. În același timp, nu exclude posibilitatea de realizare simultană a ambelor evenimente.

Funcții și legi

Deci, știm deja ce operația logică folosind algebra booleană. Funcții descrie toate proprietățile elementelor logicii matematice, și ne permit de a simplifica situațiile complexe compuse. Cele mai clare și simple pare proprietate de respingere a operațiunilor cu instrumente financiare derivate. Prin derivați se înțelege XOR, implicare și echivalență. Așa cum am citit doar cu operațiunile de bază, și apoi proprietatea este, de asemenea, să le ia în considerare numai.

Asociativitatea înseamnă că , în situațiile cum ar fi „A și B, și B„listarea secvență de operanzii nu contează. Formula este scris după cum urmează:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

După cum puteți vedea, acest lucru nu este unic conjuncției, ci o disjuncție.

Comutativității susține că rezultatul conjuncției sau disjuncția nu depinde de care elementul a fost considerat de la bun început:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivitatea permite dezvăluie între paranteze în expresii logice complexe. Regulile sunt similare cu paranteza de deschidere în multiplicarea și adăugarea în algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

proprietăți unitare și zgâriere, care poate fi una dintre operanzi sunt asemanatoare cu algebric cu zero sau unu, și adăugarea unei unități:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotența ne spune că , dacă relativ egale , doi operanzi rezultatul operației este același, puteți „arunca“ în exces operanzii complicat de raționament. Iar operațiunile conjuncție și disjuncție sunt idempotente.

B∧B = B; B∨B = B.

Achiziția , de asemenea , ne permite de a simplifica ecuația. Absorbția afirmă că atunci când expresia este aplicat un operand, o altă operațiune cu același element al operandului rezultat absoarbe operare.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

secvență de operații

Secvența de operații este de mare importanță. De fapt, ca și pentru algebră, există o funcție de prioritate, care utilizează o algebră booleană. Formulele pot fi simplificate numai sub rezerva semnificația operațiunilor. Clasament al celor mai semnificative pentru neglijabile, obținem următoarea secvență:

1. Negarea.

2. Conjunctia.

3. disjunctia, XOR.

4. Implicarea, echivalență.

Dupa cum se poate vedea, doar negarea conjuncției și nu au aceeași prioritate. O prioritate a disjuncției și XOR sunt egale, precum și prioritățile de implicare și de echivalență.

Funcțiile de implicare și de echivalență

Așa cum am spus, în plus față de operațiile logice de bază, logica matematică și teoria algoritmilor folosind derivați. Acesta este cel mai adesea implicația și echivalența.

Implicația sau consecință logică - această afirmație, în care o acțiune este o condiție, iar celălalt - rezultatul punerii sale în aplicare. Cu alte cuvinte, această propunere cu pretextul „dacă ... atunci“. „După cină vine socoteala.“ E. Pentru conducerea să fie strânse pe deal sanie. Dacă nu există nici o dorință de a muta în jos de pe munte, și apoi trageți sania nu este necesară. Este scris, astfel: A → B sau A⇒B.

Echivalența implică faptul că efectul net apare numai atunci când ambele operanzi sunt adevărate. De exemplu, noaptea dă drumul la zi, apoi (si numai atunci), atunci când soarele se ridică deasupra orizontului. În limbajul logicii matematice a acestei declarații este scris ca A≡B, A⇔B, A == B.

Alte legi de algebra booleană

Algebra judecata dezvoltă, și mulți oameni de știință interesați să formuleze legi noi. Cele mai cunoscute sunt considerate postulează matematician scoțian O. De Morgan. El a observat și a dat o definiție a proprietăților, cum ar fi negație aproape, plus și dublu negativ.

Închide negare sugerează că nici înainte de paranteza este negarea: nu (A sau B) , A = nu sau B. NU

În cazul în care operandul este refuzat, indiferent de valoarea sa, spune despre plus:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Și , în sfârșit, negația dublă în sine compensează. Ie fie înainte de negație operanzi dispare sau rămâne doar unul.

Cum de a rezolva teste

Logic implică simplificare predeterminate ecuații. La fel ca în algebra Lie, este necesar să se faciliteze la maximum prima condiție (pentru a scăpa de operațiuni de intrare complicate, și cu ei), apoi începe căutarea unui răspuns corect.

Ce se poate face pentru a simplifica? Conversia toate derivatele într-o operație simplă. Apoi descoperi toate consolele (sau invers, pentru a face paranteze pentru a reduce acest element). Următorul pas ar trebui să fie de a utiliza proprietăți algebra Boolean în practică (proprietăți de absorbție zero și unu, și t.).

În cele din urmă, ecuația ar trebui să constea dintr-un număr minim de necunoscute, combinate cu operații simple. Cel mai simplu mod de a căuta o soluție, dacă efectuați un număr mare de negative apropiate. Apoi, răspunsul va apărea ca și în cazul în care de la sine.