Seria Fourier: istoria și influența mecanismului matematic pentru dezvoltarea științei

Seria Fourier - acest punct de vedere arbitrar ales funcții pentru perioada într-un rând. În termeni generali, această soluție se numește elementul de expansiune pe o bază ortogonală. Extinderea funcțiilor în serie Fourier este destul de un instrument puternic pentru rezolvarea diverselor probleme datorită proprietăților transformării în integrare, diferențiere, precum și o schimbare în expresia argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizat cu matematici superioare, precum și cu lucrările Fourier om de știință francez, cel mai probabil, nu va înțelege ce „rândurile“ și ce fac ei. Totuși, această transformare este destul de ferm a intrat viețile noastre. Acesta este folosit nu numai matematică, ci și fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologii, oceanografi și altele. Să luăm, de asemenea, o privire mai atentă cu lucrările marelui om de știință francez, care a făcut descoperirea, înaintea timpului său.

Omul și transformata Fourier

Seria Fourier este una dintre metodele (împreună cu analiza și altele) ale transformării Fourier. Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude nici un sunet. urechea noastră convertește automat val de sunet. mișcarea oscilatorie a particulelor elementare într-un mediu elastic sunt extinse în seria (spectrul) valori de volum succesive pentru tonurile de înălțimi diferite. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete familiare pentru noi. Toate acestea sunt, în plus față de dorința sau conștiința în sine noastre, ci pentru a înțelege procesele care au mai mulți ani pentru a studia matematica mai mare.

Cititi mai multe despre transformarea Fourier

Transformata Fourier poate fi realizată analitic, cifre și alte metode. Seriile Fourier sunt proces numeralul de descompunere a oricăror procese oscilatorii - din valurile oceanului și valuri de lumină la ciclurile solare (și alte obiecte astronomice) de activitate. Folosind aceste tehnici matematice, este posibil să se dezasambleze funcția, reprezentând orice procese oscilatorii într-un număr de componente sinusoidale care merg la minim la maxim și vice-versa. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoide corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi utilizat pentru rezolvarea unei ecuații foarte complexe, care descriu procesele dinamice care au loc sub acțiunea căldurii, luminii sau energie electrică. De asemenea, seria Fourier folosite pentru a distinge componentele de curent continuu în forme de undă complexe, ceea ce face posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale în medicină, chimie și astronomie.

informații istorice

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Zhan Batist Zhozef Fure. Numele lui mai târziu și această transformare a fost numit. Inițial, oamenii de stiinta au folosit o tehnica pentru a studia și de a explica mecanismele de conductivitate termică - propagarea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția inițială neregulată a undei termice poate fi descompus în sinusoidă simplu, din care fiecare va avea valoarea minimă și maximă a temperaturii, precum și faza sa. Astfel, fiecare componentă astfel să fie măsurată de la minim la maxim și vice-versa. Funcția matematică ce descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecărei armonici, denumit transformata Fourier a distribuției temperaturii de exprimare. Autorul teoriei funcției de distribuție globală redusă , care este dificil de descrierea matematică, într - o foarte ușor să se ocupe de o serie de funcții periodice ale sinus și cosinus, în valoare de a da distribuția inițială.

Principiul de conversie și punctele de vedere ale contemporanilor

Contemporanii de omul de știință - cei mai importanti matematicieni ai secolului al XIX-lea - nu a acceptat această teorie. Principala obiecție a fost aprobarea Fourier că funcția discontinuă care descrie o linie dreaptă sau curbă este ruptă, poate fi reprezentat ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca un exemplu, ia în considerare un „pas“ Heaviside: valoarea sa este zero la stânga a diferenței și unul pe dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric pe variabila de timp pentru lanțul de închidere. Teoria contemporană la acel moment, nu a întâlnit o astfel de situație, atunci când o expresie discontinuu ar fi descrisă printr-o combinație de funcții continue, comune, cum ar fi exponențială, sinusoidală, liniară sau pătratică.

Ceea ce a deranjat matematicienii francezi în teoria Fourier?

La urma urmei, în cazul în care un matematician avea dreptate să susțină, atunci, însumând o serie infinită Fourier trigonometrice, este posibil să se obțină o reprezentare corectă a etapei de exprimare, chiar dacă are un set de măsuri similare. În secolul al XIX-lea, această afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoieli, mulți matematicieni au extins domeniul de aplicare al studiului acestui fenomen, deplasându-l dincolo de studiile de conducție termică. Cu toate acestea, cei mai mulți oameni de știință au continuat să sufere întrebarea: „? Poate suma seriei de undă sinusoidală converge la valoarea exactă a unei funcții discontinuă“

Convergența seriei Fourier: de exemplu,

Problema convergenței crește de fiecare dată când aveți nevoie însumarea unei serii infinite de numere. ia în considerare un exemplu clasic pentru înțelegerea acestui fenomen. Poți ajunge vreodată perete, în cazul în care fiecare pas este jumătate din anterioare? Să presupunem că doi metri de poarta, primul pas mai aproape în jurul valorii de jumătate de drum, următoarea - marca de trei sferturi, iar după a cincea, vei depăși aproape 97 la suta din drum. Cu toate acestea, indiferent de cât de multe măsuri pe care le-ați făcut nici, ținta dorită ajungeți într-un sens strict matematic. Folosind calcule numerice, putem dovedi că, în cele din urmă poate fi mai aproape de o distanță mică arbitrar dată. Acest lucru este echivalent cu o dovadă care să demonstreze că valoarea totală a jumătate, un sfert, și așa mai departe. E. va tinde spre unitate.

Problema convergenței: a doua venire, sau instrumentul de Lord Kelvin

În mod repetat întrebarea a apărut în secolul al XIX-lea, când seria Fourier au încercat să folosească pentru a prezice intensitatea fluxuri și. La acea vreme, Lord Kelvin a fost inventat de dispozitiv este un calculator analogic, care a permis marinari bleumarin și un monitor de comerciant marin este un fenomen natural. Acest set mecanism definit de faze și amplitudini ale înălțimii de masă a mareelor și momentele de timp corespunzătoare, cu atenție măsurate în port pe tot parcursul anului. Fiecare parametru este un sinusoidală înălțimi tide expresie a componentelor și a fost una dintre componentele obișnuite. Rezultatele măsurătorilor sunt introduse în dispozitivul de calcul Lord Kelvin, sintetizând curba care a prezis înălțimea apei ca funcție a anului următor. Foarte curând, aceste curbe au fost întocmite pentru toate porturile lumii.

Și dacă procesul va fi rupt funcția discontinuă?

La acea vreme, părea evident că dispozitivul prezice un val, cu multe elemente ale contului poate calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel oferă o predicție mai precisă. Cu toate acestea, sa dovedit că acest model nu este observat în cazurile în care expresia de maree, care va fi sintetizat, conținea un salt ascuțit, adică sunt discontinue. În cazul în care aparatul pentru a introduce date dintr-un tabel de puncte de timp, se calculează câțiva coeficienți Fourier. Recuperarea funcției inițiale datorită componentei sinusoidale (în conformitate cu coeficienții găsit). Discrepanța dintre original și exprimarea reconstruita poate fi măsurată în orice punct. În cazul în care calculele repetate și comparații se poate observa că valoarea cea mai mare eroare nu este redusă. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de ruptură, și orice alt punct tinde la zero. În 1899, acest rezultat a fost confirmat, teoretic, Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriei Fourier și dezvoltarea matematicii în ansamblul său

Analiza Fourier nu se aplică expresiile care conțin un număr infinit de explozii la un anumit interval. În seria Fourier generală, în cazul în care funcția inițială este reprezentată de rezultatul măsurătorilor fizice reale, converg întotdeauna. Aspectele legate de convergență a acestui proces pentru anumite clase de funcții au condus la noi ramuri ale matematicii, cum ar fi teoria funcțiilor generalizate. Acesta este asociat cu nume precum Schwartz, J .. Mikusiński și J. Temple. În cadrul acestei teorii, o bază teoretică clară și precisă pentru această expresie a fost stabilită ca funcția delta Dirac (descrie regiunea unei zone unice, concentrate într-un cartier infinitezimal al punctului) și „pasul“ Heaviside. Prin această lucrare serie Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și probleme, care implică concepte intuitive: puncte de încărcare, masă punct, dipole magnetice, și sarcina concentrată pe grinda.

metoda Fourier

serii Fourier, în conformitate cu principiile de interferență, începe cu descompunerea formelor complexe în mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură datorită trecerii sale prin diferitele bariere ale căldurii materiale de formă neregulată izolatoare sau schimbarea suprafeței solului - un cutremur, o schimbare în orbita corpului ceresc - influenta planetelor. De obicei, aceste ecuații care descriu simplu elementar sistem clasic rezolvat pentru fiecare lungime de undă individuale. Fourier a arătat că soluțiile simple pot fi rezumate pentru mai multe sarcini complexe. În limbajul matematicii, seria Fourier - o metodologie de prezentare a sumei expresiei armonice - cosinus și unde sinusoidale. Prin urmare, această analiză este, de asemenea, cunoscut sub numele de „analiza armonica“.

Seria Fourier - o metodă ideală pentru „vârstă de calculator“

Înainte de crearea tehnologiei de calculator metoda Fourier este cea mai bună armă din arsenalul de oameni de știință care lucrează cu natura val al lumii noastre. Seria Fourier în formă complexă vă permite să rezolve nu numai probleme simple, care pot fi supuse directe aplicarea legilor mecanicii lui Newton, dar și ecuațiile fundamentale. Cele mai multe dintre descoperirile științei newtoniene a secolului al XlX-lea a devenit posibilă numai datorită metodei Fourier.

seria Fourier astăzi

Odată cu dezvoltarea Transformata Fourier calculatoare au crescut la un nou nivel. Această tehnică este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Ca un exemplu, un video și audio digital. Implementarea ei a fost posibilă numai datorită teoriei dezvoltate de matematicianul francez al secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier în formă complexă a permis să facă un progres în studiul spațiului cosmic. În plus, acesta a afectat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica cu microunde, oceanografia, radar, Seismologie.

seria trigonometrică Fourier

În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții complexe arbitrare ca o sumă de mai simplă. În cazuri generale, numărul de expresii poate fi infinit. Cu cât numărul numărate în calcul, se obține mai precis rezultatul final. Cea mai comună utilizare a cosinus trigonometrice simple sau funcție sinus. În acest caz, seria Fourier se numește trigonometrice, iar decizia acestor expresii - descompunerea armonică. Această metodă joacă un rol important în matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc pentru a imaginii, precum și studiul funcțiilor, este unitatea principală a teoriei. În plus, ne permite să rezolve o serie de probleme în fizica matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea analizei matematice, a dat naștere la o serie de ramuri foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, punctul de plecare pentru dezvoltarea următoarelor teorii: seturi, funcții ale unei variabile reale, analiza funcțională, și , de asemenea , a pus bazele pentru analiza armonica.