Numere complexe. Valoare și evoluție „valori imaginare“

Numerele de bază - obiectele matematice necesare pentru diferite calcule și calcule. Setul de valori digitale naturale, întregi, raționale și iraționale definește o multitudine de așa-numitele numere reale. Dar există, de asemenea, destul de neobișnuit categorii - „cantități imaginare“ numere complexe definite de René Descartes ca Și unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII-lea Leonhard Euler a propus să-i desemneze litera i din cuvântul francez imaginare (imaginar). Care este numerele complexe?

Așa numitele expresii de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale, și i este un indicator digital al valorii speciale a cărui pătrat este -1. Operații cu numere complexe sunt realizate de aceleași reguli ca diferitele operații matematice pe polinoame. Această categorie matematică nu reprezintă rezultatele oricăror măsurători sau calcule. Pentru acest lucru este destul de multe numere reale. De ce, atunci, nu au nevoie?

Numerele complexe ca un concept matematic, este necesar datorită faptului că unele ecuații cu coeficienți reali au soluții în domeniul numerelor „obișnuite“. Prin urmare, pentru a extinde domeniul de aplicare al inegalităților de rezolvare a apărut necesitatea de a introduce noi categorii matematice. Numerele complexe care au rezumat în principal teoretic posibilă rezolvarea acestor ecuații ca ² x 1 = 0. Se observă că, în ciuda formalism sale aparente aceste cifre categorie activ utilizat și pe scară largă, de exemplu, pentru diferite soluții practice probleme de teoria elasticității, inginerie electrica, aerodinamica si hidromecanică, fizica atomică și alte discipline științifice.

Modul și argumentul unui număr complex utilizat în programele de construcție. Această formă de scriere numit trigonometrice. În plus, interpretarea geometrică a acestor numere a extins și mai mult sfera de aplicare a acestora. A devenit posibil de a le utiliza pentru o varietate de calcul hartă.

Matematica a parcurs un drum lung de la numerele naturale simple la sisteme complexe integrate și funcțiile lor. Pe acest subiect se poate scrie un tutorial separat. Aici ne uităm la doar câteva dintre aspectele evolutive ale teoriei numerelor, în mod clar toate fundal istoric și rațiunea științifică a acestei categorii matematice.

matematician grec a considerat „adevărat“ doar numere naturale, care pot fi utilizate pentru a calcula nimic. Deja în al doilea mileniu î.Hr.. e. vechii egipteni și babilonieni într-o varietate de calcule practice utilizate activ fracțiuni. Următoarea etapă importantă în dezvoltarea matematicii a fost apariția de numere negative în China antică două sute de ani înaintea erei noastre. Ele au fost folosite și de matematicianul grec antic Diophant, care cunoștea regulile de operații simple pe ele. Cu ajutorul numerelor negative, a devenit posibil pentru a descrie diferitele schimbări în valori, nu numai în planul pozitiv.

În al șaptelea secol al erei noastre, sa stabilit în mod clar că rădăcinile pătrate de numere pozitive au întotdeauna două valori - în plus față de pozitiv, de asemenea, negativ. Din aceasta din urmă pentru a extrage rădăcina pătrată a metodelor algebrice obișnuite de acel moment , se credea imposibil: nu există nici o astfel de valoare a lui x la x ² = ─ 9. Pentru o lungă perioadă de timp nu a contat. Abia în secolul XVI, când au existat și au fost studiate în mod activ ecuații cubice, necesitatea de a extrage rădăcina pătrată din numere negative, ca în formula pentru soluția acestor expresii conține nu numai cubul, ci și rădăcinile pătrate.

Această formulă este robustă, dacă ecuația are cel mult o rădăcină reală. În cazul prezenței în ecuația de trei rădăcini reale pentru cura lor a fost obținut cu numărul de valori negative. Se pare că drumul spre recuperare trece prin cele trei rădăcini ale imposibil din punct de vedere al matematicii ale timpului de funcționare.

Pentru o explicație a algebraists italiene rezultă Paradox J. Cardano a fost propus introducerea unei noi categorii de natura neobișnuită a numerelor, care sunt numite complexe. Mă întreb ce Cardano le-a considerat inutil și a făcut totul pentru a evita aplicarea lor la categoriile matematice propuse. Dar deja în 1572 o carte a apărut un alt algebraist italian Bombelli, care au fost norme detaliate pentru operațiunile de pe numere complexe.

De-a lungul secolului al XVII-lea a continuat discuția despre natura matematică a numerelor de date și capacitățile de interpretare a acestora geometrice. De asemenea, a dezvoltat treptat și tehnica de a lucra cu ei îmbunătățită. Și, la rândul său, din secolele 17 și 18, a fost creat teoria generală a numerelor complexe. O contribuție enormă la dezvoltarea și îmbunătățirea teoriei funcțiilor de variabile complexe, a fost introdus rusă și oamenii de știință sovietici. N. I. Muskhelishvili implicat în aplicarea sa la problemele teoriei elasticității, Keldysh și Lavrentiev numere complexe au fost utilizate în domeniul hidro- și aerodinamica, și Vladimir Bogolyubov - în domeniul teoriei cuantice.