Numere reale și proprietățile lor

Pitagora a susținut că numărul este fundamentul lumii pe picior de egalitate cu cele mai importante elemente. Platon a crezut că numărul de link-uri fenomenului și noumenon, ajutând să știe, să fie cântărite și pentru a trage concluzii. Aritmetică vine de la cuvântul „arifmos“ - numărul, punctul de plecare în matematică. Este posibil să se descrie orice obiect - de la elementar la spațiile abstracte de mere.

Are nevoie ca factor de dezvoltare

În stadiile inițiale de dezvoltare a societății nevoile oamenilor constrânși de necesitatea de a păstra scor - .. Un sac de cereale, două sac de cereale, etc. Pentru a face acest lucru, sa numere naturale, mulțimea , care este o secvență infinită de numere întregi pozitive N.

Mai târziu, dezvoltarea matematicii ca știință, era necesar în domeniul specific de numere întregi Z - aceasta include valori negative și zero. Apariția lui la nivel intern, a fost provocată de faptul că contabilizarea inițială a trebuit să se stabilească într-un fel datoriile și pierderile. La nivel științific, numerele negative au făcut posibilă pentru a rezolva simplu ecuații liniare. Printre altele, este acum posibil imaginii unui sistem de coordonate banal, și anume. A. A fost un punct de referință.

Următorul pas a fost necesitatea de a introduce numere fracționare, deoarece știința nu se opune în continuare, tot mai multe noi descoperiri au cerut o bază teoretică pentru o nouă creștere de împingere. Deci , a existat un câmp de numere raționale Q.

În cele din urmă, nu mai satisface cerințele de raționalitate, pentru că toate constatările noi necesită o justificare. Au existat un câmp de numere reale R, lucrările incomensurabilității unor cantități din cauza iraționalității lor lui Euclid. Aceasta este, antic matematicianul grec poziționat nu numai numărul ca o constantă, ci ca o valoare abstractă , care se caracterizează prin raportul dintre magnitudini incomensurabile. Datorită faptului că există numere reale, „am văzut lumina“ valori, cum ar fi „pi“ și „e“, fără de care matematica moderne nu ar fi avut loc.

Inovația finală a fost un număr complex C. a răspuns la o serie de întrebări și a respins postulate introduse anterior. Datorită dezvoltării rapide a rezultatelor algebră a fost previzibil - cu numere reale, decizia multor probleme nu a fost posibil. De exemplu, datorită numerelor complexe a stat în teoria corzilor și haos extins ecuațiile hidrodinamicii.

Teoria mulțimilor. cantor

Conceptul de infinit a provocat întotdeauna controverse, așa cum a fost imposibil de a dovedi sau infirma. În contextul matematicii, care funcționează postulate strict verificate, acesta sa manifestat cel mai evident, cu atât mai mult că aspectul teologic încă cântărit în știință.

Cu toate acestea, prin activitatea matematicianului Georg Cantor tot timpul a căzut în loc. El a dovedit că seturile infinite există un set infinit, și că domeniul R este mai mare decât câmpul N, lăsați amândoi și nu au sfârșit. La mijlocul secolului al XIX-lea, ideile sale numit in mod public nonsens și o crimă împotriva canoane imuabile clasice, dar timpul va pune totul în locul său.

Proprietățile de bază ale câmpului R

Numerele reale nu au numai aceleași proprietăți ca și podmozhestva pe care le includ, dar sunt completate de alte masshabnosti în virtutea elementelor sale:

• Zero R. există și aparține câmpului c + = c 0 pentru orice c R.
• Zero există și aparține câmpului R. c x 0 = 0 pentru orice c R.
• Raportul c: d când există d ≠ 0 și este valabil pentru orice c, d de R.
• Câmpul R comandat, adică dacă c ≤ d, d ≤ c, atunci c = d pentru orice c, d de R.
• Plus în câmpul R este comutativ, adică c + d = d + c, pentru orice c, d de R.
• Multiplicarea în câmpul R este comutativ, adică x c x d = d c pentru toate c, d de R.
• Adiția în câmpul R este asociativă, adică (c + d) + f = c + (d + f) pentru orice c, d, f R.
• Multiplicarea în câmpul R este asociativă, adică (c x d) x f = c x (d x f) pentru orice c, d, f R.
• Pentru fiecare număr de câmp R opus acolo, astfel încât c + (-c) = 0, unde c, -c din R.
• Pentru fiecare număr de câmp R există inversa ei, astfel încât c x c ^-1 = 1 unde c, c ^-1 din R.
• Unitatea există și care aparține R, astfel încât c x 1 = c, pentru orice c R.
• Are distribuție lege de putere, astfel încât c x (d + f) = c x d + c x f, pentru orice c, d, f R.
• Câmpul R este zero nu este egal cu unitatea.
• Câmpul R este tranzitivă: dacă c ≤ d, d ≤ f, atunci c ≤ f pentru orice c, d, f R.
• În ordinea R și adiția sunt interconectate: dacă c ≤ d, atunci c + f ≤ d + f pentru toate c, d, f R.
• În ordinea R și multiplicare legat: dacă 0 ≤ c, 0 ≤ d, 0 ≤ c x d pentru orice c, d de R.
• Ca numere reale negative și pozitive sunt continue, adică, pentru orice c, d de R, există acolo de la R, că c ≤ f ≤ d.

câmp Module R

Numerele reale includ un astfel de lucru ca un modul. Desemnat-o ca | f | pentru orice f din R. | f | = F, dacă 0 ≤ f și | f | = -f, dacă 0> f. Dacă luăm în considerare modulul ca valoare geometrică, este o distanță - nu contează, „a trecut“, ai zero negativ la pozitiv sau înainte.

Numere complexe și reale. Care sunt asemănările și deosebirile?

Prin și un număr mare, complexe și reale - ele sunt una și aceeași, cu excepția faptului că primul a intrat în unitatea imaginară i, pătratul care este egală cu -1. Elementele câmpurile R și C poate fi reprezentat prin următoarea formulă:

• c = d + f x i, în care d, f aparțin domeniului R, și i - unitatea imaginară.

Pentru a obține c R f în acest caz, pur și simplu presupus a fi zero, adică, există doar partea reală a numărului. Deoarece domeniul numerelor complexe are aceeași caracteristică stabilit ca domeniul real f x i = 0 dacă f = 0.

Cu privire diferențele practice, de exemplu în câmpul R ecuația pătratică nu poate fi rezolvată dacă discriminantul este negativ, în timp ce caseta C nu impune această limitare prin introducerea unității de imaginar i.

rezultate

„cărămizi“ de axiome și postulate pe care la matematică de bază, nu se schimba. Pe unele dintre ele datorită creșterii informațiilor și introducerea unor noi teorii plasate următoarele „cărămizi“, care, în viitor, ar putea deveni baza pentru etapa următoare. De exemplu, numere naturale, în ciuda faptului că acestea sunt un subset al câmpului reale R, nu își pierde relevanța. Este de a le baza tuturor aritmetica elementară, care începe cu cunoașterea unui om al păcii.

Din punct de vedere practic, cifrele reale arata ca o linie dreaptă. Este posibil să se aleagă o direcție, pentru a identifica originea și teren. Direct constă dintr-un număr infinit de puncte, fiecare dintre care corespunde unui singur număr real, indiferent dacă sunt sau nu rațional. Din descrierea este clar că vorbim despre conceptul, care se bazează matematică , în general, și analiza matematică , în special.